C++ float的内存布局

IEEE754标准中，浮点数的内存布局

以下仅以float（内存中占据4个字节，32bits）来说明，double（8个字节，64bits）同理，只是有细微的差别。

float的内存分布

IEEE754规定，32bit的float在内存中是这样分布的：

符号位(S)	阶码(E)	尾数(M)
1	8	23

整数、浮点数在内存中都是以二进制的形式存在的（补码），而浮点数是二进制下的科学计数法存储在内存中的。可以表示为：$ s 1.m^e$

符号位占据一个比特，当S = 0时表示正数，当S = 1时表示负数。
阶码e则是其指数再加上一个偏移量（127）后的数，其总共占据了8个字节，8位无符号数的范围是0~255，考虑到已经加了一个偏移量，则其实际可表达的范围是-128~127（这个范围是指二进制计数法下的范围）。
尾数m占据了23个字节，由于是使用的二进制下的科学计数法，所以任何浮点数（除了0）都隐含了一个1，也就是说，其尾数实际上在前面应该再加一个1，即：1.m，这样，浮点数的二进制精度是24位，而$2^{24} = 16777216$，所以其十进制下的精度是7位有效数字。

计算实例

1，十进制与二进制的互转
二进制转十进制比较简单，就是对应位乘以对应的2的幂次，比如：101.1011，其转换过程为：
$$1*2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 + 1 * 2^{-1} + 0 * 2^{-2} + 1 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4}$$
十进制整数转二进制比较简单，一是8421来凑，一是除2倒序排，不再解释。
十进制小数转二进制，就是一直乘2，如果大于1，则置1，如果小于1，则置0，一直乘2，直到为0或达到指定位数为止。
比如0.125：
$$ 0.25 * 2 = 0.5 --- 0 \\ 0.5 * 2 = 1 --- 1$$
则其二进制为：0.01。
再比如：0.632：
$$ 0.632 * 2 = 1.264 --- 1 \\ 0.264 * 2 = 0.528 ---0 \\ 0.528 * 2 = 1.056 ---1 \\ 0.056 * 2 = 0.112 ---0 \\ ...$$
则其二进制为：0.1010….。
2，计算float的内存布局
2.1 考虑float fa = 4.25，那么：int ia = *(int*)&fa是多少呢？
我们知道，4.25 = 100.01，化成指数表示为：$1.0001*2^2$，则其符号位S = 0，阶码e = 2 + 127 = 0x81，其尾数部分二进制表示为：1000 1000 0000 0000 0000 0000，总共24位，将尾数的最高位的1去掉，再与阶码e，符号位S组合后：

符号位(S)	阶码(E)	尾数(M)
0	1000 0001	000 1000 0000 0000 0000 0000

合起来就是：
0100 0000 1000 1000 0000 0000 0000 0000，即：ia = 0x40880000。
2.2 再考虑float fa = -0.0125，那到：c++ int ia = *(int*)&fa是多少呢？
-0.0125 = -0.00000011001100110011001100...，转换成指数为：$-1.10011001100110011001100…*2^{-7}$，则其符号位S = 1，阶码e = -7 + 127 = 0x78，其尾数部分用二进制表示为：1100 1100 1100 1100 1100 1101，后面的位数就被四舍五入截断了，由于最后一位的后一位是1，则向前进1，同样保留24位，将其最高位的1去掉，再与阶码和符号位组合：