一、单个欧拉函数计算
可评测链接:http://codevs.cn/problem/4939/
单个欧拉函数计算公式:φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pn)
Step 1:
一边分解质因数一边算,时间复杂度O(n)
#include<cstdio> using namespace std; long long n,ans; int main() {while(1){scanf("%lld",&n);if(!n) break;ans=n;for(long long i=2;i<=n;i++)if(n%i==0){while(n%i==0) n/=i;ans=ans/i*(i-1);}printf("%lld\n",ans);} }
Step 2 :
性质:合数至少有一个不大于不大于根号n的素因子
所以循环只需循环到根号n即可 时间复杂度 O(根号n)
#include<cstdio> using namespace std; long long n,ans; int main() {while(1){scanf("%lld",&n);if(!n) break;ans=n;for(long long i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0){while(n%i==0) n/=i;ans=ans/i*(i-1);}if(n>1) ans=ans/n*(n-1);printf("%lld\n",ans);} }
Step 3:
素数除了2之外都是奇数,
所以单独处理2,然后之枚举根号n以内的奇数
时间复杂度 O[(根号n)/2]
#include<cstdio> using namespace std; int main() {long long n,ans;while(1){scanf("%lld",&n);if(!n) return 0;ans=n;if(n%2==0){while(n%2==0) n/=2;ans=ans/2;}for(long long i=3;i*i<=n;i+=2)if(n%i==0){while(n%i==0) n/=i;ans=ans/i*(i-1);}if(n>1) ans=ans/n*(n-1);printf("%lld\n",ans);} }
二、欧拉筛
欧拉筛可以快速求[1,n]内所有数的欧拉函数,所以在涉及欧拉函数求和时会使用
利用性质:
如果i%p==0,那么φ(i*p)=φ(i)*p
如果i%p!=0,那么 φ(i*p)=φ(i)*(p-1) 其中p为质数
代码为求2——n的欧拉函数之和
评测链接:http://poj.org/problem?id=2478
时间复杂度:O(n)
#include<cstdio> #define N 1000001 using namespace std; bool check[N]; int prime[N],cnt,phi[N],a; long long sum[N]; void euler() {phi[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!check[i]){prime[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=cnt;j++){if(i*prime[j]>N) break;check[i*prime[j]]=true;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}} } int main() {euler();for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]+=sum[i-1]+1ll*phi[i];while(1){scanf("%d",&a);if(!a) return 0;printf("%lld\n",sum[a]-1);} }
三、埃氏筛法
埃氏筛法可以O(1)查询i是否与n互质,在涉及 查询与n互质的数是什么 时 会使用
时间复杂度:O(nlog²n)
下方代码为求与n互质的第k个数
评测链接:http://poj.org/problem?id=2773
#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; bool check[1000001]; int euler(int n)//埃氏筛法模板 {int m=int(sqrt(n+0.5));int ans=n,k=n;memset(check,0,sizeof(check));for(int i=2;i<=m;i++)if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);for(int j=1;i*j<=k;j++)check[i*j]=true;while(n%i==0) n/=i;}if(n>1){ans=ans/n*(n-1);for(int j=1;n*j<=k;j++) check[n*j]=true;}return ans; } int main() {int m,k,ans,cnt,t,i;while(scanf("%d%d",&m,&k)!=EOF){ans=euler(m);cnt=0;if(k%ans==0) t=k/ans-1;else t=k/ans;k=k-ans*t;for(i=1;i<=m;i++){if(!check[i]) cnt++;if(cnt==k) break;}printf("%d\n",i+m*t);} }