51 Nod 1670 打怪兽

                              1670 打怪兽

lyk在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。
游戏的规则是这样的。
lyk一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽，若lyk的能量值>=怪兽的能量值，那么怪兽将会被打败，lyk的能量值增加1，否则lyk死亡，游戏结束。
若怪兽全部打完，游戏也将会结束。
共有n个怪兽，由于lyk比较弱，它一开始只有0点能量值。
n个怪兽排列随机，也就是说共有n!种可能，lyk想知道结束时它能量值的期望。
由于小数点比较麻烦，所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了！

 

例如有两个怪兽，能量值分别为{0,1}，那么答案为2，因为游戏结束时有两种可能，lyk的能量值分别为0和2。期望为1,1*2!=2，所以答案为2。

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
接下来一行n个数ai表示怪兽的能量(0<=ai<n)。

Output

一行表示答案

Input示例

2
0 1

Output示例

2

思路： 每轮打败怪兽后 lyk的能量值加一  
　　　 所以 我们可以看出来 如果lyk在第i轮 打败一个怪兽 那么在第i+1轮也一定可以打败这个怪兽 
　　　 我们设 dp[i] 表示 lyk活到第 i 轮的概率  这时候lyk的能量 必然为i
　　　 显然 第 i 轮 lyk一定存活 所以 dp[0] = N! %Mod
　　　 假设 我们已知 dp[i] 看一下怎么表示第 i+1轮的概率 
　　　 x 表示 有多少怪兽的能量小于等于 i+1 
　　　 到了 第 i+1 轮 只剩 (x-(i+1)+1) 只怪兽可以打 总的怪兽还剩 (n-(i+1)+1) 只
　　　 第i+1轮存活的概率记为 (x-(i+1)+1)/(n-(i+1)+1) 
　　　 那么到第 i+1 轮仍然存活的概率为 dp[i] *(x-(i+1)+1)/(n-(i+1)+1) 
　　　 除法用逆元来计算即可

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define MAXN 50005

#define Mod 1000000007

using namespace std;

typedef long long LL;

LL num[100005],dp[100005];

LL Fast_Pow(LL a) {
    LL ret = 1, b = Mod - 2;
    while(b) {
        if (b & 1) ret = ( ret * a ) % Mod;
        a = ( a * a ) % Mod, b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main(int argc,char *argv[]) {
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%lld",num + i);
    
    sort(num,num + n);
    dp[0] = 1;
    for(int i=2; i<=n; ++i) dp[0] = (dp[0] * i) % Mod;
    
    int j = 0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        for(; i-1>=num[j] && j<n; ++j);
        dp[i] = dp[i-1] * (j - i + 1) % Mod * Fast_Pow((LL)n - i + 1) % Mod;
    }
    LL Ans = 0;
    for(int i=2; i<=n; ++i)
        Ans += (dp[i-1] - dp[i] + Mod) % Mod * ( i - 1 )% Mod;
    Ans = (Ans + dp[n] * n % Mod ) % Mod;
    printf("%lld\n",Ans);
    return 0;
}