CDQ 分治入门题。

采用分治思想，对于编号在 $[l,r]$ 中的点对，统计都在 $[l,mid]$ 的，都在 $[mid+1,r]$ 的，再统计跨两个的。

代码

严格小于的三维偏序。

一般的三维偏序去重是因为相同的元素之间可能产生贡献，此题相同元素不会产生贡献，不用去重。

SOL1：

容斥。

统计第一维小于等于，后面两维严格小于的个数，时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

对于第一维相同的，做严格小于的二维数点，时间复杂度 $O(n\log n)$。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。代码

SOL2：

在 CDQ 递归的时候，改变 mid 的位置，使得右区间第一维严格大于左区间。

新划分的 mid 不一定在中间，时间复杂度不会证，但举不出反例。

离散化是显然的。

$f_1(i)$ 表示 $i$ 开始的 LDS，$f_2(i)$ 表示 $i$ 结尾的 LDS。

$g_1(i)$ 表示 $f_1(i)$ 的方案数，$g_2(i)$ 表示 $f_2(i)$ 的方案数。

$f,g$ 的转移比较显然。

第一问： $\max (f_i)$，正着反着都行。

第二问：

先求总方案数，即 $f$ 能达到 LDS 的 $i$ 的 $g$ 的和。

再求 LDS 经过 $i$ 的方案数。这个时候从 $i$ 开始和以 $i$ 结尾的都要是 LDS，$i$ 应满足 $f_1(i)+f_2(i)-1$ 为 LDS，方案数 $g_1(i)\times g_2(i)$。概率就是这个除以总方案数。

朴素做显然是 $O(n^2)$ 的。

三维偏序 dp ，CDQ 优化。

以 $f_2$ 为例，$f_2$ 的转移编号从小到大。因此先遍历左区间，用左区间的值转移更新右区间，再遍历右区间。

转移过程为先按一维排序，然后就是二维数点求最大值。其中需要维护区间最值，单点修改，考虑 BIT / 线段树。

正反跑两遍。总时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

注意点：

• 一般的 CDQ 在遍历当前区间时可以保证当前区间一维是有序的。

  这里的 CDQ 由于左中右的处理顺序，遍历右区间时要将右区间排序。

• 一些分支语句更新的时候要注意先后顺序。

记录

在线的二维数点。 加一维时间，变成离线的三维偏序。

一发就过了。记录

由于是任意一种变化，应考虑极值。注意任意时刻只有一种变化。

记 $f_i$ 表示以 $i$ 结尾的合法子序列长度。

$f_i=\max f_j+1$，其中 $j<i,a_j\le min(a_i),\max (a_j)\le a_i$。

三维偏序的 dp 问题，考虑 CDQ 优化。

代码