01 引言
之前发了几篇文章关于矩阵中 特征向量和PCA主元分析的文章，大家反响不错。当时并没有涉及到数学运算，只是大概讲了讲原理。
这篇文章我们一起来一步一步解读
- PCA的计算过程
- 如何用Python实现PCA分析
准备就绪
02 第一步：数据获取
第一步，大量的数据收集是必须的。手边此时并没有数据，就通过python自己制造点数据吧。
构造数据框架
我们的项目计划是 看看 白种人和黄种人的基因差别。
gene = ['gene' + str(i) for i in range(1, 101)] #创造100个基因
白种人取5人(Wh1 到 Wh5)和黄种人取5人(Ye1 到 Ye5)。
white = ['Wh' + str(i) for i in range(1, 6)]
yellow = ['Ye' + str(i) for i in range(1, 6)]
data = pd.DataFrame(columns = [*white, *yellow], index = gene)
将所有的数据通过pandas包放入一个数据矩阵中。如下所示：
数据矩阵
现在，我们给这个矩阵赋值，完全随机的，不要去管数据严谨性，毕竟全是假设的数据。
数据代码
数据
搞定数据了，一般数据都是现成的。下一步，咱们开始PCA分析。
03 数据中心化
什么叫数据中心化呢？太高大上了！其实就是求平均值，将所有的数据和平均值联系起来。
我们还是用二维数据解释比较顺溜，假设数据如下：
杜撰数据
二维数据
假设我们有6组数据，x轴代表 影响因子1， y轴代表 影响因子2。蓝色小球代表数据，紫色小球代表数据平均值。
数据中心化，就是所有数据 减去 平均值，而图像的变化就是将平均值的点(紫色)移动到原点，其他数据点跟着移动。
数据中心化
数据中心化
简单吧！数据中心化后还有一步，是将数据缩放一下。
你看哦！
数据中心化的过程中，数据的方差是没有变化的。为了数据比较的方便，对数据还需要缩放一下，过程很简单。
数据缩放
所有数据 除以 方差，这样最后的数据的方差都变成 1 了。
上面的python代码我们创建了100个基因，10个人的数据包。总共数据是100 * 10。
我们给中间中心化和缩放一下。
scaled_data = preprocessing.scale(data.T) # 搞定！
数据缩放
04 PCA分析
PCA分析
线性规划大家还记得吧。
线性规划
如上图所示，我们需要划出一条线使得所有的数据点到达这条线的距离的平方和(红色线段)最小。
线性规划
为了详细说明线性规划，我们拿一个点来说明。
当B是无数数据点中的一个，AC(绿线)是一条最匹配的直线。那么我们需要保证：
- B到AC的距离，BC的长度的平方和最小；
- 或者C到A的距离平方和最大(勾股定理可证)，两者是等效的。
所有数据点在主元坐标轴上的投射点到原点的距离(如上图中AC)的平方和叫做 Sum of Squared Distances (SSD)。
主元1 上的投射点的 Sum of Squared Distances 就是 主元1的特征值(Eigenvalue)，可以参见我之前的文章。
主元2上的投射点的Sum of Squared Distances 就是 主元2的特征值(Eigenvalue)。
Sum of Squared Distances
我们注意到上图中最后一列是Variation。这是通过：
SSD / (数据个数 - 1)求得的。
Variation有什么用的？
主元1的Variation是2.20，主元2的Variation是0.20。那么一共是2.2 + 0.2 = 2.4。
那么，主元1占有：2.2 / 2.4 = 91.5%
主元2占有：0.2 / 2.4 = 8.5%
也就是说，PCA分析后，主元1保留了91.5%的原始数据信息，占比比主元2大的多。那么，主元1就是第一主元。
分析完毕，大功告成！
PCA
对于上述数据做PCA分析后，我们看出主元1占比高达95%。自然是第一主元。
05 总结
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“逃学博士”：理工科直男一枚，在冰天雪地的加拿大攻读工程博士。闲暇之余分享点科学知识和学习干货。
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