Euler：欧拉函数＆素数筛

一、欧拉函数

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。

通式：

其中p₁, p₂……p_n为x的所有质因数，x是不为0的整数。

比如x=12，拆成质因数为12=2*2*3，
12以内有1/2的数是2的倍数，那么有1-1/2的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），
这6个数里又有1/3的数是3的倍数，
只剩下(1 -¹/₂ - ¹/₃)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。
这样剩下的12*(1 -¹/₂ - ¹/₃)=4，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。

证明：对于正整数x，

如果x=1，则 φ(1) = 1。
- 1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

如果x是质数，则 φ(x)=x-1 。
- 质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

如果n只有一个质因数p，即x = p^k(p为质数，k>=1)，则φ(p^k)=p^k(1-1/p)=p^k-p^k-1 。
- 从1~x中，p的倍数共有x/p个，共占了1/p，则减去这些数后，还剩下x*（1-1/p）个。
- 可以看出，上一种情况是 k=1 时的特例。

如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n = p₁ * p_2，则φ(x) = φ(p₁* p₂) = φ(p₁) * φ(p₂)。
- φ(a)=m,φ(b)=n,φ(a*b) = a(1-p₁)(1-p₂)...*b(1-q₁)(1-q₂)... = m*n
- 欧拉函数是积性函数（若当m与n互质时，f(m∗n)=f(m)∗f(n) f(m*n)=f(m)*f(n)f(m∗n)=f(m)∗f(n)，那么f是积性函数。）

任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
可以得到，φ(x) = φ(p₁)*φ(p₂)*...*φ(p_n) = x(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*...*(1-1/p_n).

一些（目前不需要的）性质：

当n>2时，φ(n)是偶数。
小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。
n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。
若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ⁽ⁿ⁾≡1(mod n)此公式即 欧拉定理。
当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^n-1≡1(mod n)公式即 费马小定理。

求欧拉函数：

1.埃拉托斯特尼筛

求1~n所有数的欧拉函数：每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。复杂度大概是O(nlognlogn)。

void euler(int n) {for (int i=1; i<=n; i++) phi[i]=i;for (int i=2; i<=n; i++)if (phi[i]==i)//i是质数for(int j=i; j<=n; j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

2.欧拉筛

求n的欧拉函数：每次找到一个最小的因数（一定为质因数），求出x*（1 - 1/p）。复杂度为O(n)。

int euler(int n) {int res=n,a=n;for(int i=2; i*i<=a; i++) {if(a%i==0) {res=res/i*(i-1);while(a%i==0) a/=i;}}if(a>1) res=res/a*(a-1); //有质数剩余 return res;
}

对于x = p₁^k₁ * p₂^k₂...，只需要求一次（1-p₁）（1-p2）...就可以了，

为了保证每个质因数只被使用一次，通过以上的while循环把x中的p₁除尽。

二、素数筛法

这里直接上欧拉算法了。关于埃氏和其他算法

int Prime(int N) {for(i=2; i<=N; i++) {if(!check[i])prime[cnt++]=i;for(j=0; j<cnt && prime[j]*i<=N; j++) { check[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0)break;}}
}