【转】DCT变换的透彻解析

3、离散余弦变换 DCT
　　将图像从色彩域转换到频率域，常用的变换方法有：

DCT变换的公式为：

f(i，j) 经 DCT 变换之后，F(0，0) 是直流系数，其他为交流系数。
　　还是举例来说明一下。
　　8x8的原始图像：

推移128后，使其范围变为 -128~127：

使用离散余弦变换，并四舍五入取最接近的整数：

上图就是将取样块由时间域转换为频率域的 DCT 系数块。
DCT 将原始图像信息块转换成代表不同频率分量的系数集，这有两个优点：其一，信号常将其能量的大部分集中于频率域的一个小范围内，这样一来，描述不重要的分量 只需要很少的比特数；其二，频率域分解映射了人类视觉系统的处理过程，并允许后继的量化过程满足其灵敏度的要求。
　　当u，v = 0 时，离散余弦正变换（DCT）后的系数若为F(0，0)=1，则离散余弦反变换（IDCT）后的重现函数 f(x，y)=1/8，是个常 数值，所以将 F(0，0) 称为直流(DC)系数；当 u，v≠0 时，正变换后的系数为 F(u，v)=0，则反变换后的重现函数 f(x，y) 不是常数，此时 正变换后的系数 F(u，v) 为交流（AC）系数。
　　DCT 后的64个 DCT 频率系数与 DCT 前的64个像素块相对应，DCT 过程的前后都是64个点，说明这个过程只是一个没有压缩作用的无损变换过程。
　　单独一个图像的全部 DCT 系数块的频谱几乎都集中在最左上角的系数块中。
　　DCT 输出的频率系数矩阵最左上角的直流 （DC）系数幅度最大，图中为-415；以 DC 系数为出发点向下、向右的其它 DCT 系数，离 DC 分量越远，频率越高，幅度值越小，图中最右下角为2，即图像信息的大部分集中于直流系数及其附近的低频频谱上，离 DC 系数越来越远的高频频谱几乎不含图像信息，甚至于只含杂波。
　　DCT 本身虽然没有压缩作用，却为以后压缩时的"取"、"舍" 奠定了必不可少的基础。
4、量化
　　量化过程实际上就是对 DCT 系数的一个优化过程。它是利用了人眼对高频部分不敏感的特性来实现数据的大幅简化。
　　量化过程实际上是简单地把频率领域上每个成份，除以一个对于该成份的常数，且接着四舍五入取最接近的整数。
　　这是整个过程中的主要有损运算。
以这个结果来说，经常会把很多高频率的成份四舍五入而接近0，且剩下很多会变成小的正或负数。
　　整个量化的目的是减小非“0”系数的幅度以及增加“0”值系数的数目。
　　量化是图像质量下降的最主要原因。
　　因为人眼对亮度信号比对色差信号更敏感，因此使用了两种量化表：亮度量化值和色差量化值。

使用这个量化矩阵与前面所得到的 DCT 系数矩阵：

如，使用?415（DC系数）且四舍五入得到最接近的整数

总体上来说，DCT 变换实际是空间域的低通滤波器。对 Y 分量采用细量化，对 UV 采用粗量化。
　　量化表是控制 JPEG 压缩比的关键，这个步骤除掉了一些高频量；另一个重要原因是所有图片的点与点之间会有一个色彩过渡的过程，大量的图像信息被包含在低频率中，经过量化处理后，在高频率段，将出现大量连续的零。
　　5、“Z”字形编排
　　量化后的数据，有一个很大的特点，就是直流分量相对于交流分量来说要大，而且交流分量中含有大量的0。这样，对这个量化后的数据如何来进行简化，从而再更大程度地进行压缩呢。
这就出现了“Z”字形编排，如图：

对于前面量化的系数所作的 “Z”字形编排结果就是：
　　底部 ?26，?3，0，?3，?3，?6，2，?4，1 ?4，1，1，5，1，2，?1，1，?1，2，0，0，0，0，0，?1，?1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0 顶部
　　这样做的特点就是会连续出现多个0，这样很有利于使用简单而直观的行程编码(RLE：Run Length Coding)对它们进行编码。
　　8×8图像块经过 DCT 变换之后得到的 DC 直流系数有两个特点，一是系数的数值比较大，二是相邻8×8图像块的 DC 系数值变化不大。根据这个特点，JPEG 算法使用了差分脉冲调制编码（DPCM）技术，对相邻图像块之间量化 DC 系数的差值（Delta）进行编码。即充分利用相邻两图像块的特性，来再次简化数据。
　　即上面的 DC 分量-26，需要单独处理。
　　而对于其他63个元素采用zig-zag（“Z”字形）行程编码，以增加行程中连续0的个数。