第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波4 - 单变量的离散傅里叶变换DFT

目录标题

- 单变量的离散傅里叶变换
- - 由取样后的函数的连续变换得到DFT
  - 取样和频率间隔的关系

单变量的离散傅里叶变换

由取样后的函数的连续变换得到DFT

对原函数的变换取样后的业的发展的变换 $F~(μ)\tilde F(\mu)$ ，但未给出取样后的函数 $f~(t)\tilde f(t)$ 的变换 $F~(μ)\tilde F(\mu)$ 的表达式。
$F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt(4.39)\tilde F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(t) e^{-j2\pi\mu t} dt\tag{4.39}$

$F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞∞∑n=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=∑n=−∞∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=∑n=−∞∞fne−j2πμnΔT(4.40)\begin{aligned} \tilde F(\mu) & = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(t) e^{-j2\pi\mu t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - n\Delta T) e^{-j2\pi\mu t} dt\\ & = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - n\Delta T) e^{-j2\pi\mu t} dt \\ & = \sum_{n = -\infty}^{\infty} f_n e^{-j2\pi\mu n \Delta T} \end{aligned} \tag{4.40}$

$μ=mMΔT,m=0,1,2,⋯,M−1(4.41)\mu = \frac{m}{M\Delta T}, \quad m = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.41}$

下面表达式就是我们所求的离散傅里叶变换
$Fm=∑n=0M−1fne−j2πμnm/M,m=0,1,2,⋯,M−1(4.42)F_m = \sum_{n = 0}^{M - 1} f_n e^{-j2\pi\mu n m/M}, \quad m = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.42}$

离散傅里叶反变换
$fn=1M∑m=0M−1Fmej2πμnm/M,n=0,1,2,⋯,M−1(4.43)f_n = \frac{1}{M}\sum_{m = 0}^{M - 1} F_m e^{j2\pi\mu n m/M}, \quad n = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.43}$

一般二维情况下，使用 $x$ 和 $y$ 表示图像坐标变量并使用 $u$ 和 $v$ 表示频率变量更为直观。离散傅里叶变换对可以改写为
$\sum_{x = 0}^{M - 1} f(x) e^{-j2\pi u x/M}, \quad u = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.44}$

离散傅里叶反变换
$\frac{1}{M}\sum_{u = 0}^{M - 1} F(u) e^{j2\pi u x/M}, \quad x = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.45}$

取样和频率间隔的关系

# 例4.4 计算DFT
# x = 0, 1, 2, 3
# f(x) = 1, 2, 4, 4
x = np.arange(4)
y = np.array([1, 2, 4, 4])
fft = np.fft.fft(y)
print('DFT')
print(fft)# IDFT反变换
ifft = np.fft.ifft(fft)
print('IDFT')
print(ifft)

DFT
[11.+0.j -3.+2.j -1.+0.j -3.-2.j]
IDFT
[1.+0.j 2.+0.j 4.+0.j 4.+0.j]

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