二维DFT和IDFT的一些性质

空间间隔和频率间隔的关系

$$\Delta u=\frac{1}{M\Delta T}\text{\hspace{1em}(4.69)}$$
$$\Delta v=\frac{1}{N\Delta Z}\text{\hspace{1em}(4.70)}$$

平移和旋转

$$f(x,y)e^{j2\pi (u_{0}x/M+v_{0}y/N)}\iff F(u-u_0,v-v_0)\text{\hspace{1em}(4.71)}$$

$$f(x-x_0,y-y_0)\iff F(u,v)e^{-j2\pi (u_{0}x/M+v_{0}y/N)}\text{\hspace{1em}(4.72)}$$

也就是说，用所示的指数项乘以$f(x,y)$将使DFT的原点移到点$(u_0,v_{)}$处；反之，用负指数项乘以$F(u,v)$将使$f(x,y)$的原点移到点$(x_0,y_0)$处。平移不影响$F(u,v)$的幅度（谱）

使用极坐标
$$x=r\text{cos}\theta ,y=r\text{sin}\theta ,u=\omega \text{cos}\phi ,v=\omega \text{sin}\phi$$
可得下面的变换对：
$$f(r,\theta +{\theta }_0)\iff F(\omega ,\phi +{\theta }_0)\text{\hspace{1em}(4.73)}$$

周期性

二维傅里叶变换及其反变换在$u$方向和$v$方向是无限周期的，即有($k_1,k_2$是整数)：
$$F(u,v)=F(u+k_{1}M,v)=F(u,v+k_{2}N)=F(u+k_{1}M,v+k_{2}N)\text{\hspace{1em}(4.74)}$$

$$f(x,y)=f(x+k_{1}M,y)=f(x,y+k_{2}N)=f(x+k_{1}M,y+k_{2}N)\text{\hspace{1em}(4.75)}$$

对称性

任意实函数或复函数$w(x,y)$均可表示为厅数部和偶数部之和，其中奇数部和偶数部邓可以是实数，也可以是复数：
$$w(x,y)=w_e(x,y)+w_o(x,y)\text{\hspace{1em}(4.77)}$$

偶数部：
$$w_e(x,y)\triangleq \frac{w(x,y)+w(-x,-y)}{2}\text{\hspace{1em}(4.78)}$$

奇数部：
$$w_o(x,y)\triangleq \frac{w(x,y)-w(-x,-y)}{2}\text{\hspace{1em}(4.79)}$$

根据上述式子，可得到

$$w_e(x,y)=w_e(-x,-y)\text{\hspace{1em}(4.80)}$$

$$w_o(x,y)=-w_o(-x,-y)\text{\hspace{1em}(4.81)}$$

也就是说偶函数是对称的，奇函数是反对称的。

因为DFT和IDFT中所有指数都是非负的整数，所以当我们谈论对称 性（反对称性）时，指的是关于序列中心点的对称性（反对称性），此时介数部和奇数部定义为：

$$w_e(x,y)=w_e(M-x,N-y)\text{\hspace{1em}(4.82)}$$

$$w_o(x,y)=-w_o(M-x,N-y)\text{\hspace{1em}(4.83)}$$

两个偶函数的积或两个奇函数的积是偶函数，而一个偶函数和一个奇函数的积是奇函数。

对于任意两个离散的偶函数$w_e$和奇函数$w_o$有
$$\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}{w}_e(x,y)w_o(x,y)\text{\hspace{1em}(4.84)}$$

离散函数是奇函数的唯一条件是其所有样本之和为零

我的理解是，如果偶数个离散点的话，我们需要找到对称中心，中心一般是floor(M/2)。如果是偶数个点的话，那需要补多一个数，这样才能有对称的中心。
下面的题，给出的序列是4个数，中心为2。如果是5个数的话，那中心还是2，但左边是2个数，右边也是两个数。

但后面又说这样做不对，不知道是如何理解呢？

# 离散偶数性
f = np.array([2, 1, 1, 1])
M = f.shape[0]
print(f'M = {M}')# f(x) = f(4 - x), f(0) = f(4), f(1) = f(3), f(2) = f(2), f(3) = f(1)
fx = np.zeros([M + 1])
fx[:M] = f
fx[M] = f[0]
print(fx)

M = 4
[2. 1. 1. 1. 2.]

奇序列的性质，即其第一项$w_o(0,0)$永远是0，当M为偶数是，一维奇序列在伴0和M/2处的值总为零

# 离散奇数性
g = np.array([0, -1, 0, 1])
M = g.shape[0]
print(f'M = {M}')# g(x) = -g(4 - x), g(0) = 0, g(1) = -g(3), g(2) = g(2), g(3) = -g(1)
gx = np.zeros([M + 1])
gx[:M] = g
gx[M] = g[0]
print(gx)

M = 4
[ 0. -1.  0.  1.  0.]

序列的偶序列还是奇序列取决于序列的长度。{0， -1， 0， 1}是奇序列，但{0， -1， 0， 1，0}既不是奇序列，也不是偶序列

例如下面一个$6\times 6$的二维阵列 [ 记住，从(0, 0)开始计数 ] 是奇序列，

KaTeX parse error: Expected group after '\begin{array}' at position 15: \begin{array} _̲ & 0 & 0 & 0 & …

然后，添加一行为和一列0后得到的结果即不是奇阵列又不是偶阵列。

一般来说，将偶数维的二维阵列插入一个较大的零阵列时，只要中心生命，那么得到的阵列也是偶数维的，这个阵列保留了较小阵列的对称性。
奇数维的二维阵列可以插入奇数维的更多大零阵列，而不影响基对称性。

实函数$f(x,y)$的傅里叶变换是共轭对称的
$$F^{\ast }(u,v)=F(-u,-v)\text{\hspace{1em}(4.85)}$$

二维DFT及其反变换的一些对称 性质

	空间域		频率域
1)	$f(x,y)$实函数	$\iff$	$F^{\ast }(u,v)=F(-u,-v)$
2)	$f(x,y)$虚函数	$\iff$	$F^{\ast }(-u,-v)=-F(u,v)$
3)	$f(x,y)$实函数	$\iff$	$R(u,v)$偶函数；$I(u,v)$奇函数
4)	$f(x,y)$虚函数	$\iff$	$R(u,v)$奇函数；$I(u,v)$偶函数
5)	$f(-x,-y)$实函数	$\iff$	$F^{\ast }(u,v)$复函数
6)	$f(-x,-y)$复函数	$\iff$	$F(-u,-v)$复函数
7)	$f^{\ast }(x,y)$复函数	$\iff$	$F^{\ast }(-u,-v)$复函数
8)	$f(x,y)$实函数和偶函数	$\iff$	$F(u,v)$实函数和偶函数
9)	$f(x,y)$实函数和奇函数	$\iff$	$F(u,v)$虚函数和偶函数
10)	$f(x,y)$虚函数和偶函数	$\iff$	$F(u,v)$虚函数和偶函数
11)	$f(x,y)$虚函数和奇函数	$\iff$	$F(u,v)$实函数和奇函数
12)	$f(x,y)$复函数和偶函数	$\iff$	$F(u,v)$复函数和偶函数
13)	$f(x,y)$复函数和偶函数	$\iff$	$F(u,v)$复函数和奇函数

$R(u,v)$，$I(u,v)$分别是$F(u,v)$的实部和虚部

下面是一维函数性质的一些说明

def print_array(arrs):for arr in arrs:if arr.imag >= 0:print(str(arr.real) + "+" + str(arr.imag) +"j", end=', ')else:print(str(arr.real) + str(arr.imag) +"j", end=', ')

# 性质3 实函数 <=> R偶函数，I奇函数
f = np.array([1, 2, 3, 4])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

10.0+0.0j, -2.0+2.0j, -2.0+0.0j, -2.0-2.0j, 

# 性质4 虚函数 <=> R奇函数，I偶函数
f = np.array([1j, 2j, 3j, 4j]) / 4F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+2.5j, -0.5-0.5j, 0.0-0.5j, 0.5-0.5j, 

# 性质8 实函数和偶函数 <=> 实函数和偶函数
f = np.array([2, 1, 1, 1])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

5.0+0.0j, 1.0+0.0j, 1.0+0.0j, 1.0+0.0j, 

# 性质9 实函数和奇函数 <=> 虚函数和奇函数
f = np.array([0, -1, 0, 1])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+0.0j, 0.0+2.0j, 0.0+0.0j, 0.0-2.0j, 

# 性质10 虚函数和偶函数 <=> 虚函数和偶函数
f = np.array([2j, 1j, 1j, 1j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+5.0j, 0.0+1.0j, 0.0+1.0j, 0.0+1.0j, 

# 性质11 虚函数和奇函数 <=> 实函数和奇函数
f = np.array([0j, -1j, 0j, 1j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+0.0j, -2.0+0.0j, 0.0+0.0j, 2.0+0.0j, 

# 性质12 复函数和偶函数 <=> 复函数和偶函数
f = np.array([4+4j, 3+2j, 0+2j, 3+2j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

10.0+10.0j, 4.0+2.0j, -2.0+2.0j, 4.0+2.0j, 

# 性质13 复函数和奇函数 <=> 复函数和奇函数
f = np.array([0+0j, 1+1j, 0+0j, -1-1j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+0.0j, 2.0-2.0j, 0.0+0.0j, -2.0+2.0j,