二维DFT和IDFT的一些性质

二维离散卷积定理

二维循环卷积表达式：
$$(f\star h)(x,y)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)\text{\hspace{1em}(4.94)}$$

二维卷积定理为：
$$(f\star h)(x,y)\iff (F\bullet H)(u,v)\text{\hspace{1em}(4.95)}$$

$$(f\bullet h)(x,y)\iff \frac{1}{MN}(F\star H)(u,v)\text{\hspace{1em}(4.96)}$$

$f$和$h$的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。

空间卷积是空间域滤波的基础，式(4.95)是在空间域和频率域滤波之间建立等价关系的纽带。

# 一维卷积与一维傅里叶变换
f = np.zeros([400])
f[:300] = 3h = np.zeros([f.shape[0]])
h[:200] = 2# 卷积
F_con = np.convolve(f, h)# 傅里叶变换，未填充零的结果
f_fft = np.fft.fft(f)
f_fft = np.fft.fftshift(f_fft)
h_fft = np.fft.fft(h)
h_fft = np.fft.fftshift(h_fft)fh_fft = f_fft * h_fft# 傅里叶反变换
fh_ifft = np.abs(np.fft.ifft(fh_fft))fig = plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1), plt.plot(f), plt.ylim([0, 5]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400]), plt.title('f')
plt.subplot(2, 2, 2), plt.plot(h), plt.ylim([0, 5]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400]), plt.title('h')
plt.subplot(2, 2, 3), plt.plot(F_con), plt.ylim([0, 2000]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400, 600, 800]), 
plt.title('Convolution')
plt.subplot(2, 2, 4), plt.plot(fh_ifft), plt.ylim([0, 2000]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400, 600, 800]), 
plt.title('IFFT')
plt.tight_layout()
plt.show()

从上图可以看出，卷积与傅里叶变换的结果不一样，这种错误可以通过对原函数填充零来纠正。要使得它们的长度$P$相同，则有
$$P\ge A+B-1\text{\hspace{1em}(4.97)}$$

从下面的结果可以看出，直接的零填充得到的结果跟卷积是一样的。镜像和复制的填充结果不太一样。

二维填充的公式：
$$f_P(x,y)=\{\begin{array}{ll}f(x,y),& 0\le x\le A-1和0\le y\le B-1\\ 0,& A\le x\le P或B\le y\le Q\end{array}\text{\hspace{1em}(4.98)}$$

$$h_P(x,y)=\{\begin{array}{ll}h(x,y),& 0\le x\le C-1和0\le y\le D-1\\ 0,& C\le x\le P或D\le y\le Q\end{array}\text{\hspace{1em}(4.99)}$$

$$P\ge A+C-1\text{\hspace{1em}(4.100)}$$
$$Q\ge B+D-1\text{\hspace{1em}(4.101)}$$

DFT算法通过偶数大小的阵列时速度通常更快，因此经常选择$P$和$Q$的最小偶数整数。

如果两个阵列大小相同，则意味着
$$P=2M\text{\hspace{1em}(4.102)}$$

$$Q=2N\text{\hspace{1em}(4.103)}$$

在两个函数中，如果有一个或两个函数的值在取样区间的末尾不是0，那么把0添加到函数中来消除交叠错误时，会导致函数不连续。这类似于用一个盒式函数来乘以一下函数，在频率域是这一相乘意味着原变换与一个$\text{sinc}$函数的卷积，进行导致由$\text{sinc}$函数的高频分量产生所谓的频率泄露。
频率泄露会使得图像块效应。

开窗或切趾法

• 降低工频率泄漏的方法，就是让取样后的函数乘以另一个两端平滑地过渡到0的函数(窗函数)

# 傅里叶变换，填充堆的结果
f_pad = np.zeros([800])
f_pad[:400] = f
h_pad = np.zeros([800])
h_pad[:400] = h
f_fft = np.fft.fft(f_pad)
f_fft = np.fft.fftshift(f_fft)
h_fft = np.fft.fft(h_pad)
h_fft = np.fft.fftshift(h_fft)fh_fft = f_fft * h_fft# 傅里叶反变换
fh_ifft = np.abs(np.fft.ifft(fh_fft))fig = plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1), plt.plot(f_pad), plt.ylim([0, 5]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400]), plt.title('f pad 0')
plt.subplot(2, 2, 2), plt.plot(h_pad), plt.ylim([0, 5]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400]), plt.title('h pad 0')
plt.subplot(2, 2, 3), plt.plot(F_con), plt.ylim([0, 2000]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400, 600, 800]), 
plt.title('Convolution')
plt.subplot(2, 2, 4), plt.plot(fh_ifft), plt.ylim([0, 2000]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400, 600, 800]), 
plt.title('IFFT')
plt.tight_layout()
plt.show()

# 傅里叶变换，镜像
f_pad = np.zeros([800])
f_pad = np.pad(f, (400, 0), mode='reflect')
# f_pad = np.
h_pad = np.zeros([800])
h_pad = np.pad(h, (400, 0), mode='reflect')f_fft = np.fft.fft(f_pad)
f_fft = np.fft.fftshift(f_fft)
h_fft = np.fft.fft(h_pad)
h_fft = np.fft.fftshift(h_fft)fh_fft = f_fft * h_fft# 傅里叶反变换
fh_ifft = np.abs(np.fft.ifft(fh_fft))
fh_ifft = 2394 - fh_ifft
fig = plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 2, 1), plt.plot(f_pad), plt.ylim([0, 5]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400]), plt.title('f pad 0')
plt.subplot(2, 2, 2), plt.plot(h_pad), plt.ylim([0, 5]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400]), plt.title('h pad 0')
plt.subplot(2, 2, 3), plt.plot(F_con), plt.ylim([0, 2000]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400, 600, 800]), 
plt.title('Convolution')
plt.subplot(2, 2, 4), plt.plot(fh_ifft), plt.ylim([0, 2000]), plt.xlim([0, 1000]), plt.xticks([0, 200, 400, 600, 800]), 
plt.title('IFFT')
plt.tight_layout()
plt.show()

二维离散傅里叶变换性质的小结

名称	表达式
$f(x,y)$的DFT	$F(u,v)={\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$
$F(u,v)$的IDFT	$f(x,y)=\frac{1}{MN}{\sum }_{u=0}^{M-1}{\sum }_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}$