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softmax函数–softmax layer

softmax用于多分类过程中，它将多个神经元的输出，映射到（0,1）区间内，可以看成概率来理解，从而来进行多分类！

假设我们有一个数组 $z=(z_1,z_2,...z_m)$ ,则其softmax函数定义如下：

σ i (z) = e x p ( z i ) \sum m j = 1 e x p ( z j ), i = 1, 2.., m

$\sigma_i(z)=\frac{exp(z_i)}{\sum_{j=1}^mexp(z_j)} ,i=1,2..,m$
也就是softmax是个函数映射，将

z=(z1,z2,...zm) $z=(z_1,z_2,...z_m)$ 映射到

(σ1,σ2,...σm) $(\sigma_1,\sigma_2,...\sigma_m)$ .
其中，

∑σi=1. $\sum\sigma_i=1.$

如下图，可以更清楚地表明。

在logistic回归中，假设 $z_i=w_i^Tx+b_i$ 是第i个类别的线性预测结果，带入softmax中就可以得到 $o_i=\sigma_i(z)$ 可以解释成观察得到的数据x属于类别i的概率，或者称为似然（Likehood）。

logistic regression

Logistic Regression 的目标函数是根据最大似然原则来建立的，假设数据x所对应的类别为 y，则根据x我们刚才的计算最大似然就是要最大化 $o_y$ 的值

通常是使用 negative log-likelihood 而不是likelihood，也就是说最小化 $-log(o_y)$ 的值，这两者结果在数学上是等价的。即 $min -log(o_y)<=> max~o_y$

后面这个操作就是 caffe 文档里说的 Multinomial Logistic Loss，具体写出来是这个样子：

l (y, o) = - l o g (o y)

$l(y,o)=-log(o_y)$
从上面可以看出，计算似然损失，其实是和label一起的。这也是情理之中的，既然我们知道label是某一个，自然我们我希望对应的预测概率尽可能大一点。这就归结于上面的log损失。

softmax logistic loss

softmax logistic loss就是将softmax与上述的log损失结合到一起，只要把 $o_y$ 的定义展开即可。

l^(y, z) = - l o g (e z y \sum m j = 1 e z j)

$\hat{l}(y,z)=-log(\frac{e^{z_y}}{\sum_{j=1}^{m}e^{z_j}})$
其实label(这里指y)的作用就是指定了softmax的序号，也就是告诉是哪一些最小化。

反向传播

反向传播，要求根据loss更新weights,需要计算loss对于weight的偏导数。
我们参考了网上的一个例子,来简单介绍一下如何计算偏导。

a 4 = e z 4 e z 4 + e z 5 + e z 6 ， a 5 = e z 5 e z 4 + e z 5 + e z 6 ， a 6 = e z 6 e z 4 + e z 5 + e z 6

$a_4=\frac{e^{z4}}{e^{z4}+e^{z5}+e^{z6}}， a_5=\frac{e^{z5}}{e^{z4}+e^{z5}+e^{z6}}， a_6=\frac{e^{z6}}{e^{z4}+e^{z5}+e^{z6}}$
好了，我们的重头戏来了，怎么根据求梯度，然后利用梯度下降方法更新梯度！

要使用梯度下降，肯定需要一个损失函数，这里我们使用交叉熵作为我们的损失函数，为什么使用交叉熵损失函数，不是这篇文章重点，后面有时间会单独写一下为什么要用到交叉熵函数（这里我们默认选取它作为损失函数）
交叉熵函数形式如下：

其中y代表我们的真实值，a代表我们softmax求出的值。i代表的是输出结点的标号！在上面例子，i就可以取值为4,5,6三个结点（当然我这里只是为了简单，真实应用中可能有很多结点）

现在看起来是不是感觉复杂了，居然还有累和，然后还要求导，每一个a都是softmax之后的形式！

但是实际上不是这样的，我们往往在真实中，如果只预测一个结果，那么在目标中只有一个结点的值为1，比如我认为在该状态下，我想要输出的是第四个动作（第四个结点）,那么训练数据的输出就是a4 = 1,a5=0,a6=0，哎呀，这太好了，除了一个为1，其它都是0，那么所谓的求和符合，就是一个幌子，我可以去掉啦！
交叉熵函数形式如下：