数据结构与算法问题 AVL二叉平衡树

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树。

这个平衡条件必须保持，并且它必须保证树的深度是O（logN）。

一棵AVL树是其每一个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。

（空树的高度定义为-1）。

在插入以后。仅仅有那些从插入点到根节点的路径上的节点的平衡可能被改变，由于仅仅有这些节点的子树可能发生变化。当我们沿着这条路径上行到根并更新平衡信息时。我们能够找到一个节点，它的新平衡破坏了AVL条件。我们将指出怎样在第一个这种节点(即最深的节点）又一次平衡这棵树，并证明，这一又一次平衡保证整个树满足AVL特性。

让我们把必须又一次平衡的这个节点叫做a。因为随意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时。a点的两棵子树的高度差2。easy看出，这样的不平衡可能出如今以下四种情况中：

1.对a的左儿子的左子树进行一次插入

2.对a的左儿子的右子树进行一次插入

3.对a的右儿子的左子树进行一次插入

4.对a的右儿子的右子树进行一次插入

第一种情况是插入发生在“外边"的情况（即左—左的情况或右—右的情况）。该情况通过对树的一次单旋转而完毕调整。另外一种情况是插入发生在”内部“的情形(即左—右的情况或右—左的情况），该情况通过略微复杂些的双旋转来处理。

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：

1. 本身首先是一棵二叉搜索树。

2. 带有平衡条件：每一个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1

#include <iostream>
using namespace std;
const int LH = 1;
const int EH = 0;
const int RH = -1;
bool TRUE = 1;
bool FALSE = 0;typedef struct BSTNode
{int key;int bf;BSTNode *lchild, *rchild;
}BSTNode;//中序遍历
void inordertree(BSTNode * &root)
{if (root){inordertree(root->lchild);cout << root->key<<",";inordertree(root->rchild);}
}//前序遍历
void preordertree(BSTNode * &root)
{if (root){cout << root->key<<",";preordertree(root->lchild);preordertree(root->rchild);}
}
//右旋
void R_Rotate(BSTNode * &p)
{BSTNode *lc = p->lchild;p->lchild = lc->rchild;lc->rchild = p;p = lc;
}//左旋
void L_Rotate(BSTNode *& p)
{BSTNode *rc = p->rchild;p->rchild = rc->lchild;rc->lchild = p;p = rc;
}void LeftBalance(BSTNode * &T)
{BSTNode *lc = T->lchild;switch (lc->bf){case LH:T->bf = lc->bf = EH;R_Rotate(T);break;case RH:BSTNode *rd = lc->rchild;switch (rd->bf){case LH:T->bf = RH;lc->bf = EH;break;case EH:T->bf = lc->bf = EH;lc->bf = LH;break;}rd->bf = EH;L_Rotate(T->lchild);//先左旋R_Rotate(T);break;}
}void RightBalance(BSTNode *& T)
{BSTNode *rc = T->rchild;switch (rc->bf){case RH:T->bf = rc->bf = EH;L_Rotate(T);break;case LH:BSTNode *ld = rc->lchild;switch (ld->bf){case RH:T->bf = LH;rc->bf = EH;break;case EH:T->bf = rc->bf = EH;break;case LH:T->bf = EH;rc->bf = RH;break;}ld->bf = EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);break;}
}int insertAVL(BSTNode *& t, int e, bool &taller)
{if (!t){t = new BSTNode;t->key = e;t->lchild = t->rchild = NULL;t->bf = EH;taller = TRUE;}else{if (e == t->key){taller = FALSE;return 0;}if (e < t->key){if (!insertAVL(t->lchild, e,taller))return 0;if (taller){switch (t->bf){case LH:LeftBalance(t);taller = FALSE;break;case EH:t->bf = LH;taller = TRUE;break;case RH:t->bf = EH;taller = FALSE;break;}}}else{if (!insertAVL(t->rchild, e, taller))return 0;if (taller){switch (t->bf){case RH:RightBalance(t);taller = FALSE;break;case EH:t->bf = RH;taller = TRUE;break;case LH:t->bf = EH;taller = FALSE;break;}}}}return 1;
}BSTNode *search(BSTNode *t, int key)
{BSTNode *p = t;while (p){if (p->key == key)return p;else if (p->key < key)p = p->rchild;elsep = p->lchild;}return p;
}int main()
{BSTNode *root = NULL;BSTNode *r;bool taller = FALSE;int array[] = { 13, 24, 37, 90, 53 };for (int i = 0; i < 5; i++)insertAVL(root, array[i], taller);cout << "inorder traverse..." << endl;inordertree(root);cout << endl;cout << "preorder traverse..." << endl;preordertree(root);cout << endl;cout << "search key..." << endl;r = search(root, 37);if (r){cout << r->key << endl;}else{cout << "not find" << endl;}system("pause");return 0;
}