codevs 1576 最长严格上升子序列

题目链接：http://codevs.cn/problem/1576/

题目描述 Description

给一个数组a1, a2 ... an，找到最长的上升降子序列ab1<ab2< .. <abk，其中b1<b2<..bk。

输出长度即可。

输入描述 Input Description

第一行，一个整数N。

第二行，N个整数（N < = 5000）

输出描述 Output Description

输出K的极大值，即最长不下降子序列的长度

样例输入 Sample Input

9 3 6 2 7

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例解释】

最长不下降子序列为3,6,7

解题思路

参考：北大郭炜老师

1.找子问题：“求以ak（ k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。
虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2. 确定状态
子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

3. 找出状态转移方程

maxLen [k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：
初始状态： maxLen [1] = 1
maxLen[k]= max { maxLen [i]： 1<=i < k 且 a[i ]< a[k]且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen[k] = 1

maxLen[k]的值，就是在a[k]左边，“终点”数值小于a[k] ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为a[k]左边任何“终点”小于a[k]的子序列，加上a[k]后就能形成一个更长的上升子序列。

 1 #include <stdio.h>
 2 #define maxN 5005
 3 int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
 4 int main(int argc, char *argv[])
 5 {
 6     int i,j;
 7     scanf("%d",&n);
 8     for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
 9     
10     for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点 
11     {
12         for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素 
13         {
14             if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列 
15             {
16                 maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
17             }
18         }
19     }
20     printf("%d\n",maxLen[n-1]);
21     return 0;
22 }

上面的代码写错了，抱歉。更正如下：

 1 #include <stdio.h>
 2 #define maxN 5005
 3 int main(int argc, char *argv[])
 4 {
 5     int i,j,t;
 6     int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
 7     int max;
 8     
 9     scanf("%d",&n);
10     for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
11     for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点 
12     {
13         for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素 
14         {
15             if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列 
16             {
17                 maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
18             }
19         }
20     }
21     max=maxLen[0];
22     for(i=1;i<n;i++)
23         if(maxLen[i]>max) max=maxLen[i];
24     printf("%d\n",max);
25     return 0;
26 }

思考题：如何改进程序，使之能够输出最长上升子序列？

思路：新增pre[ ]，其中pre[k]=x表示在a[ ]序列构成的若干个上升子序列中，a[k]的前驱是a[x]。一开始pre[ ]全部初始化为-1表示一开始所有元素的前驱都是自己本身。在循环求解maxLen[i]的同时，更新pre[i]。最后在扫描出maxLen[ ]最大值为maxLen[i]以后，从pre[i]往前推即可。假如要顺序输出该最长上升子序列，可以把逆推pre[ ]的过程保存再输出。

参考代码：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define maxN 5005
 4 int main(int argc, char *argv[])
 5 {
 6     int i,j,t;
 7     int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
 8     int max;
 9     int pre[maxN];
10     int c[maxN],maxIndex;
11     
12     memset(pre,-1,sizeof(pre));
13     
14     scanf("%d",&n);
15     for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
16     
17     for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点 
18     {
19         for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素 
20         {
21             if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列 
22             {
23                 if(maxLen[j]+1>maxLen[i])
24                 {
25                     maxLen[i]=maxLen[j]+1;
26                     pre[i]=j;
27                 }
28             }
29         }
30     }
31     max=maxLen[0];
32     for(i=1;i<n;i++)
33         if(maxLen[i]>max) { max=maxLen[i]; maxIndex=i; }
34     printf("%d\n",max);
35     
36     j=0;
37     c[j++]=a[maxIndex];
38     while(pre[maxIndex]!=-1)
39     {
40         maxIndex=pre[maxIndex];
41         c[j++]=a[maxIndex];
42     }
43     for(i=j-1;i>=0;i--)
44     {
45         printf("%d ",c[i]);
46     }
47     printf("\n");
48     return 0;
49 }

View Code

输出最长上升子序列的另一种思路：

 1 #include <stdio.h>
 2 int n,size,a[1005][5],s,ans,next;
 3 int main(int argc, char *argv[])
 4 {
 5     scanf("%d",&n);
 6     for(int i=0;i<n;i++)
 7     {
 8         int t;
 9         scanf("%d",&t);
10         a[i][0]=t;a[i][1]=1;a[i][2]=0;
11         //a[i][1]表示以a[i][0]开头的最长上升子序列的长度。
12         //a[i][2]表示在以a[i][0]开头的最长上升子序列中a[i][0]的下一个数在原序列中的下标。
13     }
14     
15     for(int i=n-2;i>=0;i--)
16     {
17         size=next=0;
18         for(int j=i+1;j<n;j++)
19             if(a[j][0]>a[i][0]&&a[j][1]>size) {size=a[j][1];next=j;}
20         if(size>0) {a[i][1]=size+1;a[i][2]=next;}
21     }
22     
23     ans=0;
24     for(int i=0;i<n;i++)
25         if(a[i][1]>a[ans][1]) ans=i;
26         
27     printf("%d\n",a[ans][1]);
28     
29     /*for(int i=0;i<n;i++)
30         printf("%d %d %d %d\n",a[i][0],a[i][1],a[i][2],i);*/
31     
32     int i=ans;
33     while(a[i][2]>0)
34     {
35         printf("%d ",a[i][0]);
36         i=a[i][2];
37     }
38     printf("%d\n",a[i][0]);
39     return 0;
40 }