浅谈Floyd的三种用法 By cellur925

Floyd大家可能第一时间想到的是他求多源最短路的n³算法。其实它还有另外两种算法的嘛qwq。写一发总结好了qwq。

一、多源最短路

放段代码跑，注意枚举顺序，用邻接矩阵存图。本质是一种动规。

复杂度O(n³)。

1 for(int k=1;k<=n;k++)
2     for(int i=1;i<=n;i++)
3         for(int j=1;j<=n;j++)
4             f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

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放个例题跑。

灾后重建

二、传递闭包

在交际网络中，给定若干个元素，若干个二元关系，关系有传递性。传递闭包就是一种“通过传递性推导出尽量多的元素之间关系的问题”，求出可确定排名的元素个数。

实现用一个布尔型的邻接矩阵，f[i][j]=1表示i与j有关系，否则则没有关系。

我们每次可以枚举k点，来解决那些间接相关的关系处理。

1 for(int k=1;k<=n;k++)
2     for(int i=1;i<=n;i++)
3         for(int j=1;j<=n;j++)
4             f[i][j]|=f[i][k]&f[k][j];

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例题 [USACO08JAN]牛大赛Cow Contest

对于奶牛的编程能力，用f[i][j]=1表示i比j强，之后就是一个裸的传递闭包。跑一遍后n²统计每只牛它与其他牛的关系是否已经确定，意思就是说只要有f[i]j]=1或f[j][i]=1其中一个就行，来统计答案。

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int n,m,ans;
 7 int f[200][200];
 8 
 9 int main()
10 {
11     scanf("%d%d",&n,&m);
12     for(int i=1;i<=m;i++)
13     {
14         int x=0,y=0;
15         scanf("%d%d",&x,&y);
16         f[x][y]=1;
17     }
18     for(int k=1;k<=n;k++)
19         for(int i=1;i<=n;i++)
20             for(int j=1;j<=n;j++)
21                 f[i][j]|=f[i][k]&f[k][j];
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23     {
24         int j;
25         for(j=1;j<=n;j++)
26         {
27             if(i==j) continue;
28             if(f[i][j]==0&&f[j][i]==0) break;
29         }
30         if(j>n) ans++;
31     }
32     printf("%d",ans);
33     return 0;
34 }

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三、求无向图最小环

例题1　USACO4.1篱笆回路

这道题难在建图，图建好以后就是裸的跑floyd找最小环了。

（瞎说一句，这题竟然有个数组开了1000的空间，但是越界了呀qwq）

Code

 1 /*
 2 ID:cellur_2
 3 TASK:fence6
 4 LANG:C++
 5 */
 6 #include<cstdio>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<cstring>
 9 
10 using namespace std;
11 const int inf=0x3f3f3f3f;
12 
13 int n,num,ans=inf;
14 int dis[300][300],mapp[300][300];
15 struct node{
16     int len;
17     int lcnt,rcnt,lid,rid,id;
18     int l[300],r[300];
19 }edge[300];
20 
21 int main()
22 {
23     scanf("%d",&n);
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25     {
26         scanf("%d",&edge[i].id);
27         int x=edge[i].id;
28         scanf("%d",&edge[x].len);
29         scanf("%d%d",&edge[x].lcnt,&edge[x].rcnt);
30         for(int j=1;j<=edge[x].lcnt;j++)
31             scanf("%d",&edge[x].l[j]);
32         for(int j=1;j<=edge[x].rcnt;j++)
33             scanf("%d",&edge[x].r[j]);
34     }
35     for(int i=1;i<=n;i++)
36     {// lid  这条边左端点的点编号
37      // rid  这条边右端点的点编号  
38         if(!edge[i].lid) edge[i].lid=++num;
39         for(int j=1;j<=edge[i].lcnt;j++)
40         {
41             int x=edge[i].l[j];
42             bool flag=0;
43             for(int k=1;k<=edge[x].lcnt;k++)
44                 if(edge[x].l[k]==i) 
45                 {
46                     flag=1;
47                     break;
48                 }
49             if(flag) edge[x].lid=edge[i].lid;
50             else edge[x].rid=edge[i].lid;
51         }
52         if(!edge[i].rid) edge[i].rid=++num;
53         for(int j=1;j<=edge[i].rcnt;j++)
54         {
55             int x=edge[i].r[j];
56             bool flag=0;
57             for(int k=1;k<=edge[x].lcnt;k++)
58                 if(edge[x].l[k]==i)
59                 {
60                     flag=1;
61                     break;
62                 }
63             if(flag) edge[x].lid=edge[i].rid;
64             else edge[x].rid=edge[i].rid;
65         }
66     }
67     memset(mapp,0x3f,sizeof(mapp));
68     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
69     ans=dis[2][33];
70     for(int i=1;i<=n;i++) mapp[i][i]=0,dis[i][i]=0;
71     for(int i=1;i<=n;i++)
72     {
73         int lid=edge[i].lid;
74         int rid=edge[i].rid;
75         int len=edge[i].len;
76         mapp[rid][lid]=mapp[lid][rid]=len;
77         dis[rid][lid]=dis[lid][rid]=len;
78     }    
79     //floyd找最小环 
80     for(int k=1;k<=num;k++)
81     {
82         for(int i=1;i<k;i++)
83             for(int j=i+1;j<k;j++)
84                 ans=min(ans,dis[i][j]+mapp[i][k]+mapp[k][j]);
85         for(int i=1;i<=num;i++)
86             for(int j=1;j<=num;j++)
87                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
88     }
89     printf("%d\n",ans);
90     return 0;
91 }

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例题2　POJ 1734 Sightseeing Trip

其实是floyd找最小环的板子题，但是由于题目要求输出一种合法的方案，所以我们只要再开一个vector就行了。

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<vector>
 4 #include<cstring>
 5 
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 
 9 int n,m;
10 int ans=0x3f3f3f3f;
11 int dis[200][200],mapp[200][200],pos[200][200];
12 vector<int>path;
13 
14 void get_path(int x,int y)
15 {
16     if(pos[x][y]==0) return ;
17     get_path(x,pos[x][y]);
18     path.push_back(pos[x][y]);
19     get_path(pos[x][y],y);
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     scanf("%d%d",&n,&m);
25     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
26     for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
27     for(int i=1;i<=m;i++)
28     {
29         int x=0,y=0,z=0;
30         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
31         dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],z);
32     }
33     memcpy(mapp,dis,sizeof(dis));
34     for(int k=1;k<=n;k++)
35     {
36         for(int i=1;i<k;i++)
37             for(int j=i+1;j<k;j++)
38                 if((ll)mapp[i][j]+dis[j][k]+dis[i][k]<ans) 
39                 {
40                     ans=mapp[i][j]+dis[i][k]+dis[k][j];
41                     path.clear();
42                     path.push_back(i);
43                     get_path(i,j);
44                     path.push_back(j);
45                     path.push_back(k);
46                 }
47         for(int i=1;i<=n;i++)
48             for(int j=1;j<=n;j++)
49                 if(mapp[i][j]>mapp[i][k]+mapp[k][j])
50                 {
51                     mapp[i][j]=mapp[i][k]+mapp[k][j];
52                     pos[i][j]=k;
53                 }
54     }
55     if(ans==0x3f3f3f3f) 
56     {
57         printf("No solution.");
58         return 0;
59     }
60     for(int i=0;i<path.size();i++)
61         printf("%d ",path[i]);
62     return 0;
63 }