一、整数规划介绍

1.1 整数规划的定义

若规划模型的所有决策变量只能取整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。

1.2 整数规划的分类

整数规划模型大致可分为两类：

（1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。

（2）变量部分限制为整数时，称混合整数规划。

1.3 求解方法分类

• 分支定界法——可求纯或混合整数线性规划。
• 割平面法——可求纯或混合整数线性规划。
• 隐枚举法——求解0-1整数规划
  • 过滤隐枚举法
  • 分枝隐枚举法
• 匈牙利法——解决指派问题
• 蒙特卡洛法——求解各类规划问题

1.4 整数规划的数学模型

$$\underset{x}{\min }{\mathbf{f}}^T\mathbf{x}$$

$$s.t.\{\begin{array}{c}\mathbf{x}\left(intcon\right)\\ \mathbf{A}\cdot \mathbf{x}⩽\mathbf{b}\\ Aeq\cdot \mathbf{x}=beq\\ lb⩽\mathbf{x}⩽ub\end{array}$$
式中：$\mathbf{f}$,$\mathbf{x}$,$\mathbf{b}$,beq,lb,ub为列向量；$\mathbf{A}$,Aeq为矩阵。

二、案例分析

Matlab求解混合整数线性规划的命令为

[x,fval]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)这里是引用

例1：利用matlab求解该整数线性规划模型。
$$\max z=100x_1+60x_2$$
$$s.t.\{\begin{array}{c}5x_1+2x_2⩽270\\ 4x_1+3x_1⩽250\\ 3x_1+4x_2⩽200\\ x_2=4x_1\\ x_1,x_2\text{为非负整数}\end{array}$$
MATLAB代码：

clc,clear
f=[-100;-60];
intcon=[1,2];
A=[5,2;4,3;3,4];
b=[270;250;200];
aeq=[-4,1];
beq=0;
lb=[0;0];
ub=[inf;inf];
[x,fval]=intlinprog(f,intcon,A,b,aeq,beq,lb,ub)
disp("x1值:" + x(1))
disp("x2值:" + x(2))
disp("最大值：" + (-fval))

求解结果:

例2：利用matlab求解下列混合整数规划问题。
$$\min z=-3x_1-2x_2-x_3$$
$$s.t.\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3⩽7\\ 4x_1+2x_2+x_3=12\\ x_1,x_2\gg 0\\ x_1=0\text{或}1\end{array}$$
MATLAB代码：

clc,clear
f=[-3;-2;-1];
intcon=3;%只有第3个变量为整数变量
A=ones(1,3);
b=7;
aeq=[4,2,1];
beq=12;
lb=zeros(3,1);
ub=[inf;inf;1];
[x,fval]=intlinprog(f,intcon,A,b,aeq,beq,lb,ub)

求解结果：