【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）（下）

【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）（上）

性质21. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 设 $BC$ 所对中位线是 $K L$ , 则 $B I$ , $K L$ , $D E$ 三线共点, $C I$ , $K L$ , $D F$ 三线共点. 2023/12/11

配图

证明: $B I$ , $K L$ , $D E$ 三线共点, 设 $B D$ 交 $D E$ 于 $T$ . 易证 $\angle ITD=\angle ACI=C/2$ , $\angle ITD=\angle IAC=A/2$ , 因此 $\triangle ITD \sim \triangle IAC. DT/AC=ID/IC=\sin C/2$ , $\sin C/2$ , $\cos C/2$ ( $r$ 为内切圆半径), $\tan (C/2) /(2r)$ , $C L / CE = b / (2 (p - c))$
$(DT/DE)/(CL/CE)=(p-c)(\tan C/2)/r=(p-c)/(r/ \tan C/2)=(p-c)/|DC|=1$

因此 $T$ 在 $K L$ 上.

配图

性质22. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . $M$ 为 $BC$ 边的中点. 设 $EF$ 交外接圆 $O$ 于 $E^{'}$ , $F^{'}$ ( $E^{'}$ 在 $B$ 所对的弧上, $F^{'}$ 在 $C$ 所对的弧上, 显然 $E^{'}$ , $F^{'}$ 分别为 $A B$ , $A C$ 所对劣弧上的中点), 设 $BC$ 所对的北极点是 $J$ . $B_1$ , $C_1$ 分别是 $B I$ , $C I$ 与外接圆的交点, 设 $P$ 为 $B_1$ , $C_1$ 的中点, 则 $EF//B_1C_1; I$ , $B_1$ , $J$ , $C_1$ 构成平行四边形; $E^{'}$ , $F^{'}$ , $M$ , $D$ 共圆且 $P$ 为圆心. (来源: 2015 韩国数学奥林匹克)

配图

证明: 显然 $EF\bot AI$ , 连结 $A I$ , $AB_1$ , 则 $\angle B_1AI=A/2+B/2$ , $\angle C_1B_1A=C/2$ , 因此 $\angle B_1AI+\angle C_1B_1A=\pi/2$ , $\bot B_1C_1. EF//B_1C_1. \angle JB_1C_1=\pi/2-A/2-C/2=B/2=\angle B_1C_1C$ , $JB_1//C_1I$ , 同理, $JC_1//B_1I$ , $I$ $B_1$ , $J$ , $C_1$ 构成平行四边形. 连结 $J I$ , $OM$ , $I D$ , $F^{'} M$ , $E^{'} D$ . 设直线 $E^{'} F^{'}$ , 直线 $BC$ 交于 $T$ . 由性质1, $D$ , $T$ 调和分割 $BC$ , $TD \cdot TM=TB \cdot TC=TF' \cdot TE'$ , $E^{'}$ , $F^{'}$ , $M$ , $D$ 共圆. 显然四边形 $J M D I$ 是等腰梯形, 由 $I$ , $B_1$ , $J$ , $C_1$ 构成平行四边形可知 $P$ 为 $B_1C_1$ , $J I$ 的中点, 因此 $P$ 在 $M D$ 的中垂线上, 同时, $\bot B_1C_1$ , 进而 $\bot E'F'$ , 则 $P$ 在 $E^{'} F^{'}$ 的中垂线上, 因此过 $E^{'}$ , $F^{'}$ , $M$ , $D$ 的圆以 $P$ 为圆心.

$I^{'}$ 为 $\triangle ABC$ 角 $A$ 的平分线上一点, 过 $I^{'}$ 向三边作垂线, $BC$ , $A C$ , $A B$ 边上的垂足分别为 $D^{'}$ , $E^{'}$ , $F^{'}$ , $E^{'} F^{'}$ 交弧 $A B$ (劣弧)于 $G$ , 交弧 $A C$ (劣弧) 于 $H$ . $M$ 为 $BC$ 边的中点, 则 $G$ , $H$ , $D^{'}$ , $M$ 共圆.

配图1

配图2

性质23. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 角 $A$ 的平分线 $A I$ 交内接圆于 $K$ , $BC$ 边的中点为 $M$ , $BC$ 边所对的北极点是 $N$ , $A$ 点所对的旁心为 $J_a$ , 则 (1) $\triangle IMK \sim \triangle NIK$ ; $\triangle J_{a}KM \sim \triangle NKJ_{a}$ (2) $\triangle IEA \sim \triangle KCN$ ; (3) $N A // EF$ .

配图1, 配图2, 配图3

证明: 仅证明(1), 连结 $NC$ , $K C$ , 则由鸡爪定理可知 $K C = K I$ . 由射影定理可知, $KC^2=KM \cdot KN$ . 由此可知 $\triangle IMK \sim \triangle NIK$ . 由于 $KJ_a=KI$ , 因此 $KJ_{a}^{2}=KM \cdot KN$ , $\triangle J_{a}KM \sim \triangle NKJ_{a}$ .

(2), (3) 证明略.

性质24-1. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 外心为 $O$ , $N$ 为 $BC$ 所对的北极点, $S$ 为南极点, $D$ 为 $I$ 在 $BC$ 边上的切点, 设 $P$ 为 $N I$ 与圆 $O$ 的交点, $A^{'}$ 为 $A$ 关于 $BC$ 中垂线的对称点, $R$ 为 $I$ 在 $NS$ 上的垂足, 则 $I$ , $R$ , $S$ , $P$ 四点共圆, $I$ , $R$ , $N$ , $A$ 四点共圆, $P$ , $D$ , $R$ , $A^{'}$ 四点共线.

配图

证明: 连结 $SP$ . 显然 $\bot NP$ , 结合 $IR\bot NS$ , 有 $I$ , $R$ , $S$ , $P$ 四点共圆, 类似地可证明 $N$ , $A$ , $I$ , $R$ 四点共圆. $\angle RPH=\angle RSH=\angle A'PN$ , 因此 $R$ 在 $NP$ 上, 因此 $D$ 在 $RP$ 上. 由性质23可知, $\triangle IMS \sim \triangle NIS$ , 则 $\angle IMN=\angle NIA=\angle SIP=\angle SRP$ 连结 $M I$ , 显然四边形 $R I D M$ 是矩形, $\angle MRD=\angle IMR=\angle SRP$ , 因此 $D$ 在 $RP$ 上.

性质24-2. 该性质对于旁心亦成立.

配图

证明: 略.

性质24-3. (接性质24-1) $J_a$ 为 $A$ 点所对的旁切圆, $D^{'}$ 为 $BC$ 边上的旁切圆切点, 则 $\angle D'AB=\angle PAC$ .

配图

性质24-4. (接性质24-2) $\angle DAC = \angle PAB$ .

配图

性质24-3, 24-4到伪内切圆和伪旁切圆章节再证明.

性质25. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 外心为 $O$ , $K$ 为 $A I$ 与外接圆的交点, $A^{'}$ 为 $A$ 关于 $O I$ 的对称点, 则 $A^{'}$ 在过 $O$ , $I$ , $K$ 的圆上. 2023-12-14

配图

证明: 连结 $O A$ , $O A^{'}$ , $I A^{'}$ , $O K$ . 由对称性可知, $\angle OA'I=\angle OAI=\pi/2-B-A/2$ . $\angle OKI=\pi/2-B-A/2$ . 由此可知, $\angle OA'I=\angle OKI$ . 证毕.

配图

性质26. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 外心为 $O$ , $A$ 所对的旁心为 $J_a$ , $B I$ , $C I$ 分别交对边于 $B_0$ , $C_0$ , 则 $B_0 C_0$ 垂直于 $J_a O$ . 2023-12-15

配图

证明: 不失一般性, 设 $c > b$ . 设 $A$ , $C_0$ , $B_0 $ 到 $BC$ 的距离分别是 $h_A$ , $h_1$ , $h_2$ , 由角平分线性质可知, $BC_0/C_0A= a/b$ , $CB_0/B_0A=a/c$ , 进而 $h_1=h_A \cdot BC_0/BA =h_A \frac{a}{a+b}$ , $h_2=h_A \cdot CB_0/CA=h_A \frac{a}{a+c}$ . 设 $C_0$ , $B_0$ 到 $BC$ 的垂足分别为 $C_0'$ , $B_0'$ , $B_0' C_0'=c \cos B \frac{b}{a+b}$ . $B_0 C_0$ 与 $BC$ 所成的角度(锐角)正切为: $h_1-h_2)/B_0 C_0$ .

代入 : $cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac)$ , $cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)$ , $h_A=2S/a$ , ( $S$ 为三角形面积)

化简得:
$(h_1-h_2)/B_0 C_0=\frac{4S(c-b)}{[(a^2+c^2-b^2)b(a+c)+(a^2+b^2-c^2)c(a+b)] /a}$
设 $BC$ 边中点为 $M$ , $BC$ 边上旁切圆的切点为 $D^{'}$ , $J_a O$ 与 $BC$ 垂线夹角 (锐角) 的正切为: $D'M / (r_A+R)$ , 其中 $D^{'} M = (a - 2 (p - c)) /2 = (c - b) /2$ .

代入: $R = ab c / (4 S)$ , $r_A = 2S/(b+c-a)$ , $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (海伦公式)
$\begin{align} D'M / (r_A+R) &= \frac{(c-b)/2}{[16S^2+a(b^2+c^2-a^2)(b+c-a)] /(8S(b+c-a))}\\&=\frac{4S(c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)+a(b^2+c^2-a^2)} \end{align}$
我们比较 $h_1-h_2)/B_0 C_0$ 与 $D'M / (r_A+R)$ 两项的分母和分子. 分子相同, 下面看分母
$a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)+a(b^2+c^2-a^2)=a^2(b+c)+2abc+(c-b)(b^2-c^2)$

$\begin{align} [(a^2+c^2-b^2)b(a+c)+(a^2+b^2-c^2)c(a+b)] /a & =a[b(a+c)+c(a+b)] +(c^2-b^2)[b(a+c)-c(a+b)] /a\\ & =a^2(b+c)+2abc+(c^2-b^2)(b-c) \end{align}$

显然分母也相等. 证毕.

性质27. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 外心为 $O$ , $A$ 点所对的旁切圆心为 $J_a$ . $B_0$ , $C_0$ 分别为 $B$ , $C$ 的角平分线与对边的交点, 则 $J_a \bot B_0 C_0$ . 2023-12-07

配图

证明: 设 $EF$ 交 $N D$ 于 $G$ . 连结 $DJ_a$ , 设 $BC$ 边上的旁切圆切点为 $D^{'}$ , 作 $BC$ 的中垂线交 $DJ_a$ 于 $S$ . 下面对于 $\triangle NSD$ 和 $G$ , $M$ , $J_a$ 利用梅涅劳斯定理逆定理证明 $G$ , $M$ , $J_a$ 共线.

连结 $N A$ , 则 $N A // EF$ , $N$ 到 $EF$ 的距离等于 $A$ 到 $EF$ 的距离, 记作 $d_1=r \cos(A/2)/\tan (A/2)$
连结 $D E$ , $D$ 到 $EF$ 的距离记作 $d_2=DE \cdot cos (\angle DEF)=2r \cos(C/2) \cos(B/2)$ , $DJ_a/J_aS=2$
$MS=r_A/2=p \tan(A/2) / 2$ , $\tan(A/2))$ , $NG/GD \cdot (DJ_a/J_aS) \cdot (MS/MN) = p \sin A/2/ (a \cos(C/2) \cos(B/2))$
$p/a=(a+b+c)/(2a)=(\sin A +\sin B+\sin C)/(2 \sin A)=2 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)/\sin A$
代入得 $NG/GD \cdot (DJ_a/J_aS) \cdot (MS/MN) = 1$ . 证毕.

配图

性质28. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 外心为 $O$ , 向 $BC$ 所作的垂线垂足为 $D$ , $O I$ 交 $A D$ 于 $K$ , 则 $AK/AD=R/r_a$ .

配图

证明: 设 $I$ , $O$ 到 $BC$ 的垂线垂足为 $I^{'}$ , $O^{'}$ , $A K / A O = K I / I O$ . $A O = R K I / I O = D I^{'} / I^{'} O^{'}$ , $A K / R = D I^{'} / I^{'} O^{'}$
$\cos B=p-b-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=(b-c)(-a+b+c)/2a$ , $I^{'} O^{'} = a /2 - (p - b) = (b - c) /2$ , $D I^{'} / I^{'} O^{'} = (- a + b + c) / a$ , $A K = (- a + b + c) R / a$ , $A D = 2 S / a$ , $AK/AD=(-a+b+c)R/(2S)=R/(2S/(-a+b+c))=R/r_A$ .

性质29. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 外心为 $O$ , $B I$ , $C I$ 分别交对边于 $B_0$ , $C_0$ , 交外接圆于 $B_1$ , $C_1$ , 则 $\bot B_1 C_1$ ; $B_0 C_0$ , $B_1 C_1$ 外接圆在 $A$ 点的切线, $BC$ 过点 $I$ 的平行线交于一点. 2023/12/19

配图

证明: 由鸡爪定理, $C_1I=C_1A$ , $B_1I=B_1A$ , 因此 $\bot B_1 C_1$ . 设 $B_0C_0$ 与 $BC$ 过点 $I$ 的平行线交于 $T$ , 连结 $BC_1$ , $B_0C_0$ 过点 $I$ 的平行线与直线 $BC$ 交于 $T^{'}$ . 易证 $BC_1/C_1C_0=CC_1/BC_1$ (记为 $k$ ), 考虑 $C_1$ 为中心, 比为 $k$ 的位似变换 $h$ , 显然 $h(C_0)=I$ (由鸡爪定理, $C_1I=C_1B$ , $h (I) = C$ , 进而 $h (T) = T^{'}$ . 进而 $T T^{'}$ 过 $C_1$ . 同理, $T T^{'}$ 也过 $B_1$ . 由于 $T$ 在 $A I$ 的中垂线上, 因此 $\angle AIT=\angle IAT=B+A/2$ , $\angle OAI=\pi/2-B-A/2$ , 因此 $\angle OAT=\pi/2$ .

性质30. $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ , 垂心为 $H$ , 内切圆 $I$ 切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ , 设 $P$ 为 $A D$ 的中点, 设 $D P$ 为 $l_A$ , 类似地定义 $l_B$ , $l_C$ , 则 $l_A$ , $l_B$ , $l_C$ , $I H$ 共点.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c > b$ . 首先计算出 $D P$ 分 $I H$ 的比例, 设 $T$ 为 $D P$ 与 $I H$ 的交点, 设直线 $l_A$ 交直线 $A H$ 于 $X$ , $A$ 在 $BC$ 上的垂足为 $A^{'}$ . 求解 $A X$ , 对 $\triangle AA'L$ 和截线 $XP D$ 由梅涅劳斯定理可知, $AX/XA'\cdot A'D/DL\cdot PL/PA=1$ , $C L / B L = b / c$ , $C D = (p - c)$ , 进而可知 $DL=ab/(b+c)-(p-c)=\frac{(c-b)(b+c-a)}{2(b+c)}$ , $\cos C=\frac{(c-b)(b+c-a)}{2a}$ ,代入得: $A X / X A^{'} = a / (b + c)$ , $A X / A A^{'} = a / (b + c - a)$ . $r_A/AA'=\frac{S/(p-a)}{2S/a}=a/(b+c-a)$ , 因此 $AX=r_A$ .