欧几里得算法介绍

小学或初中时学过辗转相除法，用于求两个数的最大公约数。

欧几里得算法就是利用辗转相除法求最大公约数。

整数 a, b 的最大公约数一般表示为 gcd(a, b)。其中a > b。

欧几里得算法： gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。

欧几里得算法实质上式将较大规模的问题转化为较小规模的问题 （因为a%b < b < a）。

利用欧几里得算法递归调用，最终问题变得越来越简单，直到gcd(b, a%b) 中的 a%b == 0, 此时最大公约数即为b。

欧几里得算法的证明

证明过程我们分两步：

证明1： b和a%b的最大公约数，也是a和b的公约数

证明2：b和a%b的最大公约数，也是a和b的最大公约数

以下分别介绍：

证明1：b和a%b的最大公约数，也是a和b的公约数

设b和a%b的最大公约数为c, 则有：
$$\begin{array}{r}b=k_1\ast c\end{array}$$
$$\begin{array}{r}a\%b=k_2\ast c\end{array}$$
考虑$a\%b$的含义，实际上可以写成a减去若干个b, 即

$$\begin{array}{rl}a\%b& =a-k\ast b\\ & =k_2\ast c\end{array}$$

所以
$$\begin{array}{rl}a& =k\ast b+k_2\ast c\\ & =k\ast k_1\ast c+k_2\ast c\end{array}$$

所以无论是a的表达式还是b的表达式中，都有c这个数，所以c也是a和b的公约数。

证毕。

证明2：b和a%b的最大公约数，也是a和b的最大公约数

由证明1的结论可知，若c为b和a%b的最大公约数, 那么a和b可以分别表示为：

$$\begin{array}{r}a=(k\ast k_1+k_2)\ast c\end{array}$$
$$\begin{array}{r}b=k_1\ast c\end{array}$$

现在需要证明 两个因数 $k\ast k_1+k_2$ 和 $k1$ 的最大公约数为1 (证明2的等价条件).

我们可以用反证法来证明。

假设 $gcd(k\ast k_1+k_2,k_1)=d,d>1$ , 那么就有

$$\begin{array}{r}k\ast k_1+k_2=m\ast d\end{array}$$
$$\begin{array}{r}{k}_1=n\ast d\end{array}$$
由以上两个式子可以表示出$k2$:
$$\begin{array}{r}{k}_2=m\ast d-k\ast k_1\end{array}$$

带入(1)式和(2)式：
$$\begin{array}{rl}b& =k_1\ast c\\ & =n\ast d\ast c\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}a\%b& =k_2\ast c\\ & =(m\ast d-k\ast k_1)\ast c\\ & =(m\ast d-k\ast n\ast d)\ast c\\ & =d\ast c\ast (m-k\ast n)\end{array}$$
因此就找到了 $b$ 和 $a\%b$ 的一个公约数 $d\ast c>c$, 这和c是二者的最大公约数矛盾。

因此反证法的假设不成立， $gcd(k\ast k_1+k_2,k_1)=1$, 即 c也是a和b的最大公约数。

证毕。