算法——动态规划（DP，Dynamic Programming）

一、基础概念

DP的思想：
把问题分成子问题，前面子问题的解决结果被后面的子问题使用
DP与分治法的区别：
分治法把问题分成独立的子问题，各个子问题能独立解决
自顶向下
DP前面子问题的解决结果被后面的子问题使用，子问题间不相互独立
自底向上
求解DP问题的步骤：
1、定义状态
2、状态转移
确定状态转移方程
3、算法实现
DP问题分类：
1、线性DP
2、非线性DP
DP问题解决方法：
顺推
逆推
DP可以解决的问题需满足三个条件：
1、问题有最优解
2、有大量子问题重复（DP可以把求解的结果存起来，后续用到时直接查询）
3、当前阶段的求解只与前面的阶段有关，与之后的阶段无关

二、爬楼梯（一维）

假设有 $n(1\leq n\leq 50)$ 级楼梯，每次只能爬1级或2级，有多少种方法可以爬到楼梯的顶部？

分析：

在爬上第 i 级楼梯之前，爬楼梯的人一定站在第 i-1 级楼梯或第 i-2 级楼梯上，两种情况
所以爬上第 i 级楼梯的方法等于两种走法之和（站在第i-1级楼梯，站在第i-2级楼梯上）
此处涉及到应用组合数学的加法规则：（“或”）
如果一个事件以 a 种方式发生，第二个事件以 b 种（不同）方式发生，那么存在 a+b 种方式
dp[i]表示爬上第i级楼梯有多少种走法
dp[1]=1
dp[2]=2
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，i>2（状态转移方程）

1、辅助数组

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)

package no1_1;
import java.util.Scanner;
public class example {public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int n=sc.nextInt();int[] dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++) {dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1];}System.out.println(dp[n]);}
}

2、只使用两个变量记录前两项的值

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

package no1_1;
import java.util.Scanner;
public class example {public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int n=sc.nextInt();int val1=1,val2=2,result=0;;for(int i=3;i<=n;i++) {//val1：前一项；val2：当前项result=val1+val2;val1=val2;val2=result;}System.out.println(result);}
}

三、拿金币（二维）

有一个N x N的方格,每一个格子都有一些金币,只要站在格子里就能拿到里面的金币。你站在最左上角的格子里,每次可以从一个格子走到它右边或下边的格子里。请问如何走才能拿到最多的金币。

分析：

当前位的最大金币数，需要上一位也拿到最大金币数

package no1_1;
import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();//根据输入，把金币放入数组中对应的位置int[][] goldCoins = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {goldCoins[i][j] = scanner.nextInt();}}//该数组存储的是走到当前位置所拿的最多金币数int[][] sum = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {//当前位的最大金币数，需要上一位也拿到最大金币数，//该循环看的是sum[i][j]，一直是往前走的，不要被i-1和j-1误了眼，觉得是倒退着走，i-1和j-1只是判断上一步是应该在哪里if (sum[i][j - 1] > sum[i - 1][j]) {sum[i][j] = sum[i][j - 1] + goldCoins[i][j];} else {sum[i][j] = sum[i - 1][j] + goldCoins[i][j];}}}System.out.println(sum[n][n]);}
}

四、印章（二维）

共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

分析：

i：买的印章数
j：凑齐的印章数
dp[i][j]：买了 i 个印章，凑齐了 j 种的概率
概率 p=1 / n
情况一：
i < j
不可能凑齐，dp[i][j]=0
情况二：
j == 1
买了 i 张印章，凑齐的印章为图案1时，概率为 $p^{i}$
但有 n 种印章图案，总的概率等于每个种图案的概率和（应用组合数学的加法规则）
即 $p^{i}\times n$ ，而 p = 1 / n，所以
$dp\left [ i \right ]\left [ 1 \right ]=(\frac{1}{n})^{i-1}$
情况三：

i >= j

为下面两种情况相加（应用组合数学的加法规则）

1、买了 i - 1 张已经得到了 j 种，最后一张随便

dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * ( j / n )

dp[i-1] [j]是买了 i - 1 张已经得到了 j 种的概率

j / n是最后一张随便哪种的概率

2、买了 i - 1 张只得到了 j - 1 种，最后一张是第 j 种

dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] * （n-（j-1）） / n

dp[i-1] [j-1]是买了 i - 1 张只得到了 j - 1 种的概率

（n-（j-1）） / n是买最后一张是第 j 种的概率

package no1_1;
import java.util.*;
public class Main {public static void main(String[] args) {    	Scanner sc=new Scanner(System.in); int n=sc.nextInt();int m=sc.nextInt();double[][] array=new double[m+1][n+1];System.out.printf("%.4f",probability(array,n,m));//动态规划}public static double probability(double[][] array,int n,int m) {double p=1.0/n;for(int i=1;i<=m;i++) {//买的印章数for(int j=1;j<=n;j++) {//凑齐的印章数if(i<j) {//买的印章数少于种类数，不可能凑齐array[i][j]=0;}else if(j==1) {//只凑齐了一种array[i][j]=Math.pow(p, i-1);}else {//为下面两种情况相加，（应用组合数学的加法规则）//1、买了 i - 1 张 已经得到了 j 种，最后一张随便， dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * ( j / n )//2、买了 i - 1 张 只得到了 j - 1 种，最后一张是第 j 种， dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] * (n-j+1) / narray[i][j]=array[i-1][j]*(j*p)+array[i-1][j-1]*((n-j+1)*p);}}}return array[m][n];}
}

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