解析几何

2023

真题（2023-07）-几何-解析几何-最值-画图求最值-两线相减求最大-联想三角形的“两边差小于第三边”，当为第三边为最大

解析几何——最值——汇总
斜率型最值：求$\frac{y-b}{x-a}$最值：设$k=\frac{y-b}{x-a}$，转化为求定点$(a,b)$和动点$(x,y)$相连所成直线的斜率范围。
截距型最值=动点在多边形上运动求最值：求$ax\pm by$最值：设$ax\pm by=c$，即$y=-\frac{a}{b}x\pm \frac{c}{b}$，转化为求动直线截距的最值。或者，边界点处取最值，逐一验证多边形顶点。
两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值：求$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$最值：设$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，此时，要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于$d=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$，故所求式子$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$可转化为求定点$(a,b)$到动点$(x,y)$的距离的平方。
对称求最值=动点在直线上运动求最值：
①同侧求最小（考查形式：已知$A、B$两点在直线l的同侧，在$l$上找一点$P$，使得$PA+PB$最小；解法：作点A（或点B）关于直线$l$的对称点$A_1$，连接$A_{1}B$，交直线$l$于点$P$，则$A_{1}B$即为所求的最小值，有$(PA+PB{)}_{min}=A_{1}B$）；
②异侧求最大（考查形式：已知$A、B$两点在直线$l$异侧，在$l$上找一点$P$，使得$PA-PB$最大；解法：作点A（或点B）关于直线$l$的对称点$A_1$，连接$A_{1}B$，交直线$l$于点$P$，则$A_{1}B$即为所求的最大值，即$(PA-PB{)}_{max}=A_{1}B$）。——【同侧加和求最小值，异侧相减求最大值】
圆心求最值=动点在圆上运动求最值：
①求圆外或圆内一点A到圆上距离的最值：$max=OA+r；min=|OA-r|$
②直线与圆相离，求圆上点到直线距离的最值：求出圆心到直线的距离d，则距离最大值为$d+r$，最小值为$d-r$；直线与圆相切，最大值为$2r$，最小值为0；直线与圆相交，最大值为$d+r$，最小值为0。
③两圆相离，求两圆上的点的距离的最值：求出圆心距$O_1{O}_2$，则距离最大值为$O_1{O}_2+r_1+r_2$，最小值为$O_1{O}_2-r_1-r_2$。
④过圆内一点最长或最短的弦，最长的弦为过该点的直径；最短的弦是以该点为中点的弦（与最长弦垂直）——【①求圆上的点到直线距离的最值求出圆心到直线的距离，再根据圆与直线的位置关系，求解。一般是距离加半径是最大值，距离减半径是最小值。②求两圆上的点的距离的最值。求出圆心距，再减半径或加半径即可。】

真题（2023-19）-几何-解析几何-最值-画图求最值-圆方程画出圆的形状-两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值：求$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$最值：设$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，此时，要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于$d=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$，故所求式子$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$可转化为求定点$(a,b)$到动点$(x,y)$的距离的平方。

真题（2023-20）-几何-解析几何-画图求最值-圆方程画出圆的形状-举反例

2022

2021

真题（2021-10）-几何-解析几何-最值-画图求最值-若四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD，则$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$

10.已知ABCD是圆$x^2+y^2=25$的内接四边形，若$A,C$是直线$x=3$与圆$x^2+y^2=25$的交点，则四边形ABCD面积的最大值为( )。
A.20
B.24
C.40
D.48
E.80

真题（2021-20）-几何-解析几何-位置-线圆位置-相切-圆求出圆心转为点到直线的距离公式：$l:ax+by+c=0$，点($x_0,y_0$)到$l$的距离为$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

20.设a为实数，圆C:$x^2+y^2=ax+ay$，则能确定圆C的方程。
（1）直线$x+y=1$与圆C相切。
（2）直线$x-y=1$与圆C相切。

真题（2021-21）-几何-解析几何-位置-线圆位置-相离-也还是转为圆心点到直线的距离公式

21.设x ，y为实数，则能确定$x\le y$。
（1）$x^2\le y-1$。
（2）$x^2+(y-2{)}^2\le 2$。

2020

真题（2020-07）-几何-解析几何-最值-画图求最值-圆方程画出圆的形状；-算术-绝对值-绝对值号、一个等号和两个未知数=函数画图；算术-绝对值不等式函数-图像；-前10题可以特值法，设未知数；

7、设实数 x, y 满足$|x-2|+|y-2|\le 2$，则$x^2+y^2$的取值范围是（ ）
A.[2,18]
B.[2, 20]
C.[2, 36]
D.[4,18]
E.[4, 20]

真题（2020-17）-几何-解析几何-位置-线圆位置-相切-圆心点到直线距离公式$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

17、曲线 上的点到$x^2+y^2=2x+2y$上的点到$ax+by+\sqrt{2}=0$的距离最小值大于 1。
（1）$a^2+b^2=1$
（2）$a＞0，b＞0$

2019

真题（2019-05）-几何-解析几何-对称-点与直线的对称点坐标公式：$l:ax+by+c=0$，点($x_0,y_0$)关于$l$的对称点的坐标公式：$(x_0-2a\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2},y_0-2b\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2})$

5、设圆C与圆$（x-5{）}^2+y^2=2$关于$y=2x$ 对称，则圆 C 方程为（ ）
A.$（x-3{）}^2+（y-4{）}^2=2$
B.$（x+4{）}^2+（y-3{）}^2=2$
C.$（x-3{）}^2+（y+4{）}^2=2$
D.$（x+3{）}^2+（y-3{）}^2=2$
E.$（x+3{）}^2+（y-4{）}^2=2$
对称问题
圆$(x-5{)}^2+y^2=2$的圆心为（5,0），关于直线y=2x的对称点设为（x,y），则
$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{2}=2\cdot \frac{x+5}{12}，\\ \frac{y}{x-5}=-\frac{1}{2},\end{array}$$
解得：$$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=4\end{array}$$
所以圆C的方程为$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=2$

真题（2019-18）-几何-解析几何-位置-相交-线圆相交-圆方程化为标准圆方程求出圆心，求圆心点直线距离公式。

18、直线 $y=kx$ 与圆 $x^2+y^2-4x+3=0$ 有两个交点
（1）$-\frac{\sqrt{3}}{3}＜k＜0$
（2）$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$

真题（2019-24）-几何-解析几何-最值-这一题考试遇到就跳过了。_。-解析几何求最值画图-

24、设三角区域D由直线$x+8y-56=0,x-6y+42=0$与$kx-y+8-6k=0(k＜0)$围成，则对任意的$(x,y)$，$lg(x^2+y^2)\le 2$

（1）$k\in (-\infty ,-1]$
（2）$k\in [-1,-\frac{1}{8})$

2018

真题（2018-10）-几何-解析几何-位置-线圆位置-相切转为圆心点到直线距离公式$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

10.已知圆C :$x^2+(y-a{)}^2=b$，若圆C 在点（1，2）处的切线与 y 轴交点为（0，3），则ab =（ ）
A.-2
B.-1
C.0
D.1
E.2

真题（2018-22）-几何-解析几何-线性规划-先看边界再取整

22.已知点$P(m,0)$，$A(1,3)$，$B(2,1)，$点$(x,y)$在三角形$PAB$上，则$x-y$的最小值与最大值分别为$-2$和$1$。
（1）$m\le 1$
（2）$m\ge -2$

解题方法
第一步：根据题目写出限定条件对应的不等式组。
第二步：“先看边界”，将不等式直接取等号，求得未知数的解。
第三步：“再取整数”，若所求解为整数，则此整数解即为方程的解；若所求解为小数，则取其左右相邻的整数。进行验证，求出最值。
【注意】这种方法并不严谨，但对于绝大多数选择题来说可以快速得分。
口诀：线性规划问题：先看边界再取整

真题（2018-24）–A-几何-解析几何-位置-线圆位置-转换为圆心点到直线距离公式

24.设a, b 实数，则圆$x^2+y^2=2y$与直线$x+ay=b$不相交。
（1）$|a-b|＞\sqrt{1+a^2}$
（2）$|a+b|＞\sqrt{1+a^2}$

2017

真题（2017-17）-A-几何-解析几何-圆的方程

17.圆$x^2+y^2-ax-by+c=0$与 x 轴相切，则能确定c 的值。
（1）已知a 的值
（2）已知b 的值

2016

真题（2016-10）-几何-解析几何-画图-中点坐标公式

10.圆$x^2+y^2-6x+4y=0$上到原点距离最远的点是（ ）
A.（-3，2）
B.（3，-2）
C.（6，4）
D.（-6，4）
E.（6，-4）

真题（2016-11）-几何-解析几何-最值-截距型最值-有x，y转为斜截式，根据图像判断最值；-解析几何求最值，需要转为函数，如直线方程，圆方程等画图判断最值。

11.如图 4 所示，点 A，B，O 的坐标分别为（4，0）、（0，3）、（0，0），若(x, y) 是△AOB中的点，则$2x+3y$的最大值为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
E.12

真题（2016-22）-几何-图像的判断

22.已知M是一个平面有限点集，则平面上存在到M中各点距离相等的点。
（1）M中只有三个点。
（2）M中的任意三点都不共线。

2015

真题（2015-11）-几何-解析几何-直线与圆的位置关系

11.若直线 y = ax 与圆$(x-a{)}^2+y^2=1$相切，则$a^2$ = （ ）
A.$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
B.$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$1+\frac{\sqrt{5}}{2}$
E.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

真题（2015-16）-D-几何-解析几何-直线与圆的位置关系

16.圆盘$x^2+y^2\le 2(x+y)$被直线 L 分成面积相等的两部分。
（1） L：$x+y=2$
（2） L：$2x-y=1$

2014

真题（2014-11）-几何-解析几何-圆方程

11.已知直线$l$是圆$x^2+y^2=5$在点(1，2)处的切线，则$l$在 y 轴上的截距为（ ）
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
E.5

真题（2014-25）-A-几何-解析几何-最值-两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值：求$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$最值：设$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，此时，要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于$d=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$，故所求式子$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$可转化为求定点$(a,b)$到动点$(x,y)$的距离的平方。

25.已知 x, y 为实数，则$x^2+y^2=1$。
（1）$4y-3x\ge 5$
（2）$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\ge 5$

2013

真题（2013-08）-几何-解析几何-对称-点与直线的对称点坐标公式：$l:ax+by+c=0$，点($x_0,y_0$)关于$l$的对称点的坐标公式：$(x_0-2a\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2},y_0-2b\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2})$

8.点$（0,4）$关于直线$2x+y+1=0$的对称点为（ ）。
A.$（2,0）$
B.$（-3,0）$
C.$（-6,1）$
D.$（4,2）$
E.$（-4,2）$

真题（2013-16）-几何-解析几何-面积

16.已知平面区域D1={$(x,y)|x^2+y^2\le 9$}，D2={$(x,y)|(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2\le 9$}，则 $D1，D2$覆盖区域的边界长度为$8\pi$。
（1）$x_0^2+y_0^2=9$
（2）$x_0+y_0=3$