求正交向量组中的系数

考虑 $n$ 个任意两个向量之间相互正交的 $n$ 维向量 $\vec{a}$，则其构成一个 $n$ 维的欧几里得空间 $R^n$，为其中的每一个向量赋予一个常数系数 $c$，则空间中的任意向量 $v$ 可以表示为这组基的线性组合
$$\vec{v}=c_1{\vec{a}}_1+c_2{\vec{a}}_2+\cdots +c_n{\vec{a}}_n$$

由于 $a_1,...a_n$ 两两正交，则 ∀ i , j ∈ { 1 , . . . n } \forall i,j \in \{1, ... n\} ∀i,j∈{1,...n}，有

$$\{\begin{array}{l}{a}_i\cdot a_j^T=1(i=j)\\ a_i\cdot a_j^T=0(i\ne j)\end{array}$$
如果此时我们想求任意一个系数 $c_i$, 则可以直接把向量 $v$ 与目标的分量 $c_i{a}_i$ 求内积
$${\vec{v}}^T{c}_i{a}_i=(c_1{a}_1,c_2{a}_2,...,c_n{a}_n{)}^T\cdot c_i{a}_i=c_i{a}_i^T{a}_x=c_i$$

三角函数的正交性

周期为 $T$ 的函数的正交，可以表示为
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)g(x)dx=0$$
对于三角函数

利用积化和差公式，可以证明下列积分等式成立

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=0$$
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=0$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\cos nxdx=0(a)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cos nxdx=0(n\ne k)(b)$$
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\sin nxdx=0(n\ne k)(c)$$

特别的，对于等式(a),(b),©，当 $n=k$ 时，有
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\cos kxdx=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin 2kxdx=1$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cos kxdx=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos 2kxdx=1$$

$$
\int ^{\pi}{-\pi} \sin kx \sin kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}{-\pi}\sin 2kx dx = 1

$$

因此我们可以将 { 1 , sin ⁡ ω x , cos ⁡ ω x , sin ⁡ 2 ω x , cos ⁡ 2 ω x , … sin ⁡ n ω x , cos ⁡ n ω x } \{1, \sin \omega x, \cos \omega x, \sin 2\omega x, \cos 2\omega x,\dots \sin n\omega x, \cos n\omega x\} {1,sinωx,cosωx,sin2ωx,cos2ωx,…sinnωx,cosnωx} 视作一组正交基