欧拉函数与欧拉定理

文章目录

  • AcWing 873. 欧拉函数
    • 题目链接
    • 欧拉函数
    • 欧拉函数的证明
    • 思路
    • CODE
    • 时间复杂度分析
  • AcWing 874. 筛法求欧拉函数
    • 题目链接
    • 问题分析与时间复杂度
    • CODE
    • 思路
  • 欧拉定理



AcWing 873. 欧拉函数

题目链接

https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/942/


欧拉函数

对于正整数 n n n,欧拉函数是小于或等于 n n n 的正整数中与 n n n 互质的数的数目,记作 φ ( n ) φ(n) φ(n)
φ ( 1 ) = 1 φ(1)=1 φ(1)=1


欧拉函数的证明

基于容斥原理

所以归纳得到公式: K = N ( 1 − 1 / p 1 ) ( 1 − 1 / p 2 ) . . . ( 1 − 1 / p i ) K = N(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1 - 1/pi) K=N(11/p1)(11/p2)...(11/pi)


思路

按照分解质因数的逻辑挨个得到质因数,然后累乘即可。


CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;int phi(int x){int res = x;for(int i = 2; i <= x / i; ++i){if(x % i == 0){res = res / i * (i - 1);while(x % i == 0) x /= i;}}if(x > 1) res = res / x * (x - 1);return res;
}int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n -- ){int a;scanf("%d", &a);cout << phi(a) << endl;}
}

时间复杂度分析

复杂度瓶颈在于分解质因数,所以是 O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n )



AcWing 874. 筛法求欧拉函数

题目链接

https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/943/

问题分析与时间复杂度

对于范围内的每个数都求欧拉函数,肯定不能用定义法一个一个求,这样时间复杂度为 O ( n ⋅ n ) O(n·\sqrt n) O(nn ),我们可以用线性筛筛出质数再计算质因数,时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)


CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], eulers[N], cnt;
bool st[N];void get_eulers(int n){eulers[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++i){if(!st[i]){primes[cnt++] = i;eulers[i] = i - 1;}for(int j = 0; primes[j] <= n / i; ++j){int t = primes[j] * i;st[t] = true;if(i % primes[j] == 0){eulers[t] = eulers[i] * primes[j];break;}eulers[t] = eulers[i] * (primes[j] - 1);}}
}int main(){int n;scanf("%d", &n);get_eulers(n);long long res = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i) res += eulers[i];cout << res << endl;
}

思路

主要有三点:

  • 如果 i 是质数:那么[1, i - 1]都是i的质因数,所以有
    eulers[i] = i - 1;
    
  • 如果 i 不是质数:那么它会被筛掉,这里有两种情况:
    • primes[j]i的最小质因子时:
      • i * primes[j]的欧拉函数是这样的: K = i ∗ p r i m e s [ j ] ∗ ( 1 − 1 / p 1 ) . . . ( 1 − 1 / p i ) K = i * primes[j] * (1 - 1/p1)...(1 - 1/pi) K=iprimes[j](11/p1)...(11/pi)我们会发现整个式子化简得到: K = e u l e r s [ i ] ∗ p r i m e s [ j ] K = eulers[i] * primes[j] K=eulers[i]primes[j]也就是说是i的欧拉函数乘上了最小质因子primes[j]的值。
    • primes[j]不是i的最小质因子时:
      • i * primes[j]的欧拉函数是这样的: K = i ∗ p r i m e s [ j ] ∗ ( 1 − 1 / p 1 ) . . . ( 1 − 1 / p i ) ( 1 − 1 / p r i m e s [ j ] ) K = i * primes[j] * (1 - 1/p1)...(1 - 1/pi)(1 - 1/primes[j]) K=iprimes[j](11/p1)...(11/pi)(11/primes[j])虽然primes[j]不是i的最小质因子,但是是primes[j] * i的最小质因子,所以需要多乘上 1 − 1 / p r i m e s [ j ] 1 - 1/primes[j] 11/primes[j]。化简得: K = e u l e r s [ i ] ∗ ( p r i m e s [ j ] − 1 ) K = eulers[i] * (primes[j] - 1) K=eulers[i](primes[j]1)


欧拉定理

a a a n n n 互质,则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{φ(n)} ≡ 1(mod\ n) aφ(n)1(mod n)

证明:
1 1 1 ~ n n n 中,设 n n n 的欧拉函数为 a 1 , a 2 , . . . , a φ ( n ) a_1, a_2, ...\ , a_{φ(n)} a1,a2,... ,aφ(n),那么全部乘上 a a a 得到 a a 1 , a a 2 , . . . , a a φ ( n ) aa_1, aa_2, ...\ ,aa_{φ(n)} aa1,aa2,... ,aaφ(n),那么得到如下式子: a φ ( n ) ( a 1 , . . . , a i ) ≡ ( a 1 , . . . , a i ) ( m o d n ) a^{φ(n)}(a_1, ...\ , ai) ≡ (a1, ...\ ,ai)\ \ (mod\ n) aφ(n)(a1,... ,ai)(a1,... ,ai)  (mod n)两边消去得到欧拉定理: a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{φ(n)} ≡ 1(mod\ n) aφ(n)1(mod n)

n , a n, a n,a 互质时,可以得到费马定理: a n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) a^{n - 1} ≡ 1(mod\ n) an11(mod n)

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