算法——位运算

常见位运算总结

  1. 基础位运算

    1. << >> ~
    2. 与&：有0就是0
    3. 或|：有1就是1
    4. 异或^：相同为0，相异为1 / 无进位相加image.png

  2. 给一个数n，确定他的二进制表示中的第x位是0还是1

    1. 让第x位与上1即可
    2. 先让n右移x位
    3. &上一个1（仅需考虑最低位，即最右边），所以与上1（0000001，只有最低位是1）image.png

  3. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成1

    1. 和1进行或运算｜，这样其他位置上的数字保持不变，只需要让第x位或1就行
    2. 先让1左移x位，然后和1进行或等运算

image.png

  1. 将一个数n的二进制表示的第x位修改成0

    1. 让第x位与上一个0即可，使其余位保持不变（决定权在上面自身）
    2. 让1左移x位后，按位取反
    3. n与等上这样一个数image.png

  2. 位图的思想

    1. 本质是一个哈希表，大多情况是数组的形式方便增删查改，可以用O(1)的时间复杂度来查找
    2. 现在用一个变量的二进制位记录信息。存储0表示一种信息，存储1表示一种信息。此时用一个变量我们就能实现增删查改。这里我们哈希表是一个变量，然后用变量中某一位的比特位的0、1来帮助我们记录信息。（2、3、4都是为位图服务的）image.jpeg

  3. 提取一个数（n）二进制表示中最右侧的1（该操作又称为lowbit，即把最低位的1提取出来）

    1. 即过这个操作后，image.png上面的数变为下面的数
    2. n按位与-n即可（负数是按位取反再加1）image.png

  4. 干掉一个数n二进制表示中最右侧的1

    1. n &（n-1）
    2. n-1本质上是当n从最右侧开始出现连续的0，做减法时会一直借位，一直借到最右边的1.即以最右侧的1作为分界线，让他右边的区域都变成相反数image.jpeg
    3. 然后再与&上nimage.png就能达到干掉最右侧的1的效果

  5. 位运算的优先级：能加括号就加括号

  6. 异或（^）运算的运算律

    1. a ^ 0 = a
    2. a ^ a = 0 （消消乐）
    3. a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c)

一大堆数随便异或（不考虑运算顺序），结果是唯一的image.png
运用6、7
LeetCode191. 位1的个数
LeetCode318. 比特位计数
LeetCode461. 汉明距离
运用9
LeetCode136. 只出现一次的数字
LeetCode260. 只出现一次的数字III

判断字符是否唯一

判定字符是否唯一

题目解析

  • 确定一个字符串 s 的所有字符是否全都不同。
  • s[i]仅包含小写字母
  • 如果你不使用额外的数据结构，会很加分。

算法原理

  1. 解法一：哈希表（哈希数组hash[26]）：因为题中已经说明仅包含小写字母，判断字符是否在哈希表里，如果不在放进哈希表，移动下一个位置。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
  2. 位图思想：

image.png

  1. 优化点：鸽巢原理：因为一共有26个英文字母，当字符串的长度大于26时，一定会有重复的字符

代码实现

class Solution {
public:bool isUnique(string astr) {// 利⽤鸽巢原理来做的优化if(astr.size() > 26) return false;int bitMap = 0;for(auto ch : astr){int i = ch - 'a';// 先判断字符是否已经出现过if(((bitMap >> i) & 1) == 1) return false;// 把当前字符加⼊到位图中bitMap |= 1 << i;}return true;}
};

丢失的数字

丢失的数字

题目解析

给定一个包含 [0, n] 中 n 个数的数组 nums ，找出 [0, n] 这个范围内没有出现在数组中的那个数。

算法原理

  1. hash表：创建一个大小为n+1的数组，这样下标刚好是0~n，然后一一对应去找。时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)image.png
  2. 高斯求和：求出0~n所有数字的和，然后减去数组中的和，得出的结果就是缺失的结果.时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)

image.png

  1. 位运算（异或运算的运算律）：将数组中的数和0n全部进行异或，所有重复的数异或结果都是0，0n数剩下的一个和数组中的0异或（数组缺失），得出的结果就是缺失的。时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)。image.png

代码实现

class Solution {
public:int missingNumber(vector<int>& nums) {int ret = 0;for(auto x : nums) ret ^= x;for(int i = 0; i <= nums.size(); i++) ret ^= i;return ret;}
};

两整数之和

两整数之和

题目解析

不使用 运算符 + 和 - ，计算并返回两整数之和。

算法原理

  1. 笔试场上，不讲武德：直接return a+b
  2. 位运算（异或运算——无进位相加）：
    1. 我们只需要找到进位即可。进位的情况是只有1和1会出现。这样就和按位与&的情况一样。并且进位是进到数字左边的位置上，所以我们还需让其进行左移，这样我们就得到了进位的结果，得到这两个结果之后，让其相加。直到进位全部为0即可
    2. 先算出无进位相加的结果，在算出进位的结果。
    3. 继续（无进位）“相加”两个结果，直至进位全部变为0.

image.png

代码实现

class Solution {
public:int getSum(int a, int b) {while(b != 0){int x = a ^ b; // 先算出⽆进位相加的结果//这里排除-1这种情况，-1二进制全是1unsigned int carry = (unsigned int)(a & b) << 1; // 算出进位  a = x;b = carry;}return a;}
};

只出现一次的数字II

只出现一次的数字II

题目解析

  • 给你一个整数数组 nums ，除某个元素仅出现 一次 外，其余每个元素都恰出现 **三次 。**请你找出并返回那个只出现了一次的元素。
  • 要求时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

算法原理

  1. 位图思想：

    1. 列出如下某一个比特位的所有情况image.png

    2. 将这些和相加后，%3，我们会发现一个规律：最终模完之后的结果和a（只出现一次的数）保持一致。image.png

    3. 将nums数组中所有的数的比特位第0位统统加起来%3，如果结果是0，不变，结果是1，修改位1；同理最终结果的倒数第二位也是如此，以此类推，直至将32位比特位全部修改完毕。

（设要找的数位 ret 。由于整个数组中，需要找的元素只出现了「⼀次」，其余的数都出现的「三次」，因此我们可以根据所有数的「某⼀个⽐特位」的总和 %3 的结果，快速定位到 ret 的「⼀个⽐特位上」的值是0 还是1 。这样，我们通过 ret 的每⼀个⽐特位上的值，就可以将ret 给还原出来 。）

我们如果想得到ret结果其中的某一位时，我们将nums中所有的数的这一位相加起来，再模上一个3（题中所要求的出现三次，如果是出现n次，就模上n），如果是0，就修改成0；如果是1，就修改成1。image.png

代码实现

class Solution {
public:int singleNumber(vector<int>& nums) {int ret = 0;for(int i = 0; i < 32; i++) // 依次去修改 ret 中的每⼀位{int sum = 0;for(int x : nums) // 计算nums中所有的数的第 i 位的和if(((x >> i) & 1) == 1)sum++;sum %= 3;if(sum == 1) ret |= 1 << i;}return ret;}
};

消失的两个数字

消失的两个数字

题目解析

  1. 用时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)来解决。
  2. 数组区间n+2

image.png

算法原理

这道题其实是之前“丢失的数字”+“只出现一次的数字III”

  1. 1~N这里相当于nums数组+a+b（缺失的两个数字——丢失的数字）

image.png

  1. 将nums和1~N统称为一个整体，那么问题就转换为有两个数字出现了1次，剩下的一堆数字出现了2次（丢失的数字III）

位运算思想：

  1. 将所有的数字异或在一起，记为tmp，因为出现两次的数字都异或被抵消了，所有tmp=a^b。接下来，我们将a、b两个数字分开
  2. 找到tmp中，比特位上为1的那一位。因为a和b这两个数字是不一样的，所以最终异或的结果是不等于0的。所以tmp中他的比特位上一定有一位上是1（记为x）。此时将刚刚所有的数字（nums和1~N）又可以划分为两大类，一类是x位上是0，一类上是x位上是1。在分别让这些数字和1、0进行异或，就能分离出a和b。image.png

代码实现

class Solution {
public:vector<int> missingTwo(vector<int>& nums) {// 1. 将所有的数异或在⼀起int tmp = 0;for(auto x : nums) tmp ^= x;for(int i = 1; i <= nums.size() + 2; i++) tmp ^= i;// 2. 找出 a，b 中⽐特位不同的那⼀位int diff = 0;while(1){//因为一定会有一个比特位上是1，所以一定回跳出这个死循环if(((tmp >> diff) & 1) == 1) break;else diff++;}// 3. 根据 diff 位的不同，将所有的数划分为两类来异或int a = 0, b = 0;for(int x : nums)if(((x >> diff) & 1) == 1) b ^= x;else a ^= x;for(int i = 1; i <= nums.size() + 2; i++)if(((i >> diff) & 1) == 1) b ^= i;else a ^= i;return {a,b};}
};

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