【矩阵论】Chapter 7—Hermite矩阵与正定矩阵知识点总结复习

文章目录

- 1 Hermite矩阵
- 2 Hermite二次型
- 3 Hermite正定（非负定矩阵）
- 4 矩阵不等式

1 Hermite矩阵

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果称 $A$ 为Hermite矩阵，则需满足 $A^H=A$ ，其中 $A^H$ 表示 $A$ 的共轭转置，也称Hermite转置，具体操作如下：
1. 将矩阵的每个元素取共轭。对于复数 $a + bi$ ，它的共轭是 $a - bi$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是实部和虚部
2. 将矩阵的行和列互换
Hermite矩阵与实对称矩阵的性质和证明方法都十分相似
Hermite矩阵性质

若 $A, B$ 为 $n$ 阶Hermite矩阵，则
1. $A$ 的所有特征值全是实数
2. $A$ 的不同特征值所对应的特征向量是相互正交的
3. 对正整数 $k$ ， $A^k$ 也是Hermite矩阵
4. 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也是Hermite矩阵
5. 对实数 $k, p, k A + pB$ 也是Hermite矩阵
Hermite矩阵充分必要条件

设 $A\in C^{n\times n},B\in C^{n\times n}$
1. $A$ 是Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵 $U$ 使得
  $U^HAU=\Lambda =diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
  其中 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 均为实数。实对称矩阵则是存在正交矩阵 $U ...$
2. A是Hermite矩阵的充要条件是对任意方阵 $S$ ， $S^HAS$ 是Hermite矩阵
3. 如果 $A, B$ 是Hermite阵，则 $A B$ 是Hermite矩阵的充要条件是 $A B = B A$
相合标准形

设 $A$ 为 $n$ 阶Hermite矩阵，则 $A$ 相合矩阵
$D_0=\begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & -I_{r-s} & 0 \\ 0 & 0 & O_{n-r} \end{pmatrix}$
其中 $r = r ank (A)$ ， $s$ 是 $A$ 的正特征值（重特征值按重数计算）的个数。矩阵 $D_0$ 则称为 $n$ 阶Hermite矩阵 $A$ 的相合标准形。
Sylvester惯性定律

设 $A, B$ 为 $n$ 阶Hermite矩阵，则 $A$ 与 $B$ 相合的充要条件是
$I n (A) = I n (B)$
其中 $I n (A)$ 称为 $A$ 的惯性， $In(A)=\{\pi(A),v(A),\delta(A)\}$ 。其中 $\pi(A)$ , $v (A)$ , $\delta(A)$ 分别表示 $A$ 的正、负和零特征值的个数（重特征值按重数计算）。则 $A$ 非奇异的充要条件为 $\delta(A)=0$ 且 $\pi(A)+v(A)=rank(A)$ 。

2 Hermite二次型

Hermite二次型定义

由 $n$ 个复变量 $x_1,...,x_n$ ，系数为负数的二次齐式
$f(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\bar{x_i}\bar{x_j}$
其中 $a_{ij}=a_{ji}$ ，称为Hermite二次型。Hermite二次型可写为 $f(x)=x^HAx$ ，我们称 $A$ 的秩就为Hermite二次型的秩。
Hermite二次型的标准形定理

对Hermite二次型 $f(x)=x^HAx$ ，存在酉线性变换 $x = U y$ （其中 $U$ 是酉矩阵）使得Hermite二次型 $f (x)$ 变成标准形（只包含平方项的二次型）
$f(x)=\lambda_1\bar{y_1}y_1+...+\lambda_n\bar{y_n}y_n$
其中 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 为 $A$ 的特征值。
Hermite二次型化标准形（酉线性变换）

设 $f(x)=x^HAx$ ，其中 $A$ 为 $n$ 阶Hermite矩阵
1. 求出二次型矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1,...\lambda_n$ 和特征向量 $v_1,...,v_n$ ，并将特征向量 $v_1,...,v_n$ 规范正交
2. 令 $U=(v_1,...,v_n),x=Uy$ ，则
  $f(x)=(Uy)^HA(Uy)=y^HU^HAUy=y^H(U^HAU)y\\=y^H\Lambda y=\lambda_1|y_1|^2+...+\lambda_n|y_n|^2$
Hermite二次型规范形定理

对二次型 $f(x)=x^HAx$ ，存在可逆线性变换 $x = P y$ 使得Hermite二次型 $f (x)$ 化为
$f(x)=\bar{y_1}y_1+...+\bar{y_s}y_s-\bar{y_{s+1}}y_{s+1}-...-\bar{y_r}y_r$
其中 $r=rank(A),s=\pi(A)$ 。上式则为Hermite二次型 $f (x)$ 的规范形，其中 $s$ 和 $(r - s)$ 分别称为Hermite二次型的正惯性指数和负惯性指数。
二次型化规范形

设 $f(x)=x^HAx$ ，其中 $A$ 为 $n$ 阶Hermite矩阵
1. 将二次型化为标准形，得到标准形 $f(x)=y^H\Lambda y$ 和酉矩阵 $U$
2. 将对角线元素提取出来，即只保留 $\lambda_i$ 的正负性，则
  $f(x)=y^H\Lambda y=y^H(\Lambda_1 D_0 \Lambda_1)y=y^H(\Lambda_1^HD_0\Lambda_1)y\\ =(\Lambda_1y)^HD_0(\Lambda_1y)$
  其中 $\Lambda_1$ 为对角矩阵，对角线元素为 $\sqrt {|\lambda_i}|(1\leq i \leq n)$ 。
3. 令 $y=\Lambda_1^{-1} z$ ，则
  $f(x)=(\Lambda_1\Lambda_1^{-1}z)^HD_0(\Lambda_1\Lambda_1^{-1}z)=z^HD_0z\\=\bar{z_1}z_1+...+\bar{z_s}y_s-\bar{z_{s+1}}z_{s+1}-...-\bar{z_r}z_r$
4. 故 $x=U\Lambda^{-1}z$ ，可逆矩阵 $P=U\Lambda^{-1}$
正定相关概念

设 $f(x)=x^HAx$ 为Hermite二次型
1. 如果 $f (x) > 0$ （等价 $s = r = n$ ），则称 $f (x)$ 为正定的；
2. 如果 $f(x)\geq0$ （等价 $s = r < n$ ），则称 $f (x)$ 为半正定（非负定的）的；
3. 如果 $f (x) < 0$ （等价 $s = 0, r = n$ ），则称 $f (x)$ 为负定的；
4. 如果 $f(x)\leq0$ （等价 $s = 0, r < n$ ），则称 $f (x)$ 为半负定的；
5. 如果 $f (x)$ 有时为正有时为负（等价 $0<s<r\leq n$ ），则称 $f (x)$ 为不定的；

3 Hermite正定（非负定矩阵）

定义

根据Hermite二次型的正定（非负定）可以定义Hermite矩阵的正定（非负定）。

设 $A$ 为 $n$ 阶Hermite矩阵， $f(x)=x^HAx$
1. 如果 $f (x) > 0$ ，则称 $A$ 为正定的，记作 $A > 0$ ；
2. 如果 $f(x)\geq0$ ，则称 $A$ 为半正定（非负定的）的，记作 $A\geq 0$ ；
3. 如果 $f (x) < 0$ ，则称 $A$ 为负定的，记作 $A < 0$ ；
4. 如果 $f(x)\leq0$ ，则称 $A$ 为半负定的，记作 $A\leq 0$ ；
5. 如果 $f (x)$ 有时为正有时为负，则称 $A$ 为不定的；
判断 $n$ 阶Hermite矩阵 $A$ 正定
1. 通过正定矩阵的定义
2. $A$ 的 $n$ 个特征值均为正数
3. $A$ 的顺序主子式 $\Delta_k=A\begin{pmatrix}1&\dots&k\\1&\dots&k\end{pmatrix}>0,(k=1,...,n)$ 均为正数
4. $A$ 的所有主子式全大于 $0$
5. 存在 $n$ 阶非奇异下三角矩阵 $L$ ，使得 $A=LL^H$ （该分解称为Cholesky分解）
6. 存在 $n$ 阶非奇异矩阵，使得 $A=B^HB$
7. 存在 $n$ 阶非奇异Hermite矩阵 $A=S^2$
判断 $n$ 阶Hermite矩阵 $A$ 半正定
1. 通过半正定矩阵的定义
2. $A$ 的 $n$ 个特征值均为非负数
3. $A$ 的所有主子式均非负
定理证明

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶Hermite矩阵，且 $B > 0$ ，则存在非奇异矩阵 $P$ 使得
$P^HAP=diag(\lambda_1,...,\lambda_n),P^HBP=I$
其中 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 是广义特征值问题的特征值

证明：

$\because B >0$

$\therefore $存在非奇异矩阵$ P_1 $使得$ P_1^HBP_1=I$

又 $\because P_1^HAP_1$ 仍为Hermite矩阵

$\therefore$ 酉矩阵 $U$ 使得
$U^H(P_1^HAP_1)U=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
令 $P=P_1U$

$\because P$ 非奇异，根据定理 $P^HBP=I$

$\therefore P^HBP=(P_1U)^HB(P_1U)\\=U^HP_1^HBP_1U=I$

又 $\because P_1$ 非奇异，使得 $P_1^HBP_1=I$

$\therefore$
$P^HBP= U^HP_1^HBP_1U=U^H(P_1^HBP_1)U\\=U^HIU=U^HU=I$
$\therefore$
$P^HAP=U^HP_1^HAP_1U=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
$\therefore$ 我们可以对上式右乘 $P^{-1}$ 和 $B^{-1}$ ，得到
$P^HBP=I \\ P^H=P^{-1}B^{-1}$
$\therefore$ 得到
$P^{-1}B^{-1}AP=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
即 $B^{-1}A$ 相似于对角矩阵，故 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 是矩阵 $B^{-1}A$ 的特征值，即 $\lambda_1,...,\lambda_n)$ 是广义特征值问题的特征值。

广义特征值问题 $Ax=\lambda Bx$ ，左乘 $B^{-1}$ ，即为 $B^{-1}Ax=\lambda x$

4 矩阵不等式

定义

设 $A, B$ 都是 $n$ 阶Hermite矩阵，如果 $A-B\geq 0$ 则称 $A$ 大于或等于 $B$ （或称 $B$ 小于等于 $A$ ），记作 $A\geq B$ （或 $B\leq A$ ），即 $A - B$ 半正定；如果 $A - B > 0$ ，则称 $A$ 大于 $B$ （或称 $B$ 小于 $A$ ），记作 $A > B$ （或 $B < A$ ），即== $A - B$ 正定==。
性质

设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶Hermite矩阵，则
1. $A\geq B(A>B) \Longleftrightarrow-A\leq -B(-A<-B)\Longleftrightarrow$ 对任意 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ 都有 $P^HAP\geq P^HBP(P^HAP>P^HBP)$
2. 若 $A>0(A\geq 0),C>0(C\geq 0)$ ，且 $A C = C A$ ，则 $AC>0(AC\geq 0)$
3. 若 $A > B$ ， $P$ 为 $n\times m$ 列满秩矩阵，则 $P^HAP>P^HBP$
4. 若 $A\geq B$ ， $P$ 为 $n\times m$ 矩阵，则 $P^HAP\geq P^HBP$
定理

设 $A, B$ 都是 $n$ 阶Hermite矩阵，且 $A\geq 0,B>0$ ，则
1. $B\geq A$ 的充要条件是 $\rho(AB^{-1})\leq 1$
2. $B > A$ 的充要条件是 $\rho(AB^{-1})<1$
设 $A$ 是 $n$ 阶Hermite矩阵，则 $\lambda_{min}(A)I\leq A\leq\lambda_{max}I$ ，这时 $\lambda_{min}$ 和 $\lambda_{max}$ 分别表示 $A$ 的最大和最小特征值。

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶Hermite正定矩阵，则
1. 若 $A\geq B>0$ ，则 $B^{-1}\geq A^{-1}>0$
2. 若 $A > B > 0$ ，则 $B^{-1}>A^{-1}>0$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶Hermite正定矩阵，且 $A B = B A$ ，则
1. 若 $A\geq B$ ，则 $A^2\geq B^2$
  
  证明： $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)$ ，易知 $(A-B)\geq0,A+B>0$ ，则克制
2. 若 $A\geq B$ ，则 $A^2> B^2$
  
  同理得证
设 $A$ 是 $m\times n$ 行满秩矩阵， $B$ 是 $n\times k$ 矩阵，则
$B^HB\geq (AB)^H(AA^H)^{-1}(AB)$
等号成立当且仅当存在一个 $m\times k$ 矩阵 $C$ 使得 $B=A^HC$