SVM原理理解

概念推导：

共识：距离两个点集距离最大的分类直线的泛化能力更好，更能适应复杂数据。

怎么能让margin最大？

最大化margin即：

拉格朗日乘子法：

为什么公式中出现求和符号?

SVM模型:

小结：

学习资料：

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不简单的SVM - 知乎 (zhihu.com)

机器学习中的超平面wx+b=0?_平面方程wx+b=0-CSDN博客

优化-拉格朗日乘子法 - 知乎 (zhihu.com)

概念推导：

样本集： $D={(x1,y1),(x2,y2),,,(xn,yn)}$

类别标签： $y\epsilon \begin{Bmatrix} -1 ,& 1 \end{Bmatrix}$

分类直线： $f=w^{\Gamma }x+b$

当 $f=w^{\Gamma }x+b=0$ 时，表示点在分类直线上； $f=w^{\Gamma }x+b>0$ 表示该点在直线上方，表示该点为正样本； $f=w^{\Gamma }x+b<0$ 表示该点在直线下方，该点为负样本；将上述转化为数学语言，即：

$y_{i}\times (w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 0$

对于二分类问题，我们可以找到许多分类直线将不同点集正确区分。如下图：灰色面中的直线都是分类直线。margin表示间隔。

共识：距离两个点集距离最大的分类直线的泛化能力更好，更能适应复杂数据。

因此我们希望所有的点都被正确分类并且落在两条直线的两侧，且直线内区域尽量大。对上述公式进行改进：即 $(w^{\Gamma }x_{i}+b)$ 在（-1，1）时，不分类

$(w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 1$ $yi=1$

$(w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq -1$ $yi=-1$

$y_{i}\times (w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 1$

怎么能让margin最大？

计算最大间隔： $X_{+}$ ， $X_{-}$ 表示分类直线边界上里最佳分类直线距离最近的两点；最大间隔margin为 $X_{+}$ ， $X_{-}$ 之间的距离，等于 $d_{+}+d_{-}$

由直线外一点到直线的距离：直线： $Ax+By+C =0$

$d=\frac{\begin{vmatrix} Ax+By+C \end{vmatrix}}{(A^{2}+^B{2})^{1/2}}$

（二维平面上公式：ax+by+c=0 点坐标为（x,y)，二分类散点图上点坐标为（x1,x2)表示不同特征

w和x是矩阵 wx+b=w1x1+w2x2+b。所以直线上点满足w1x1+w2x2+b=0，

机器学习中的超平面wx+b=0?_平面方程wx+b=0-CSDN博客）

得：

$d_{+}=\frac{\begin{vmatrix} w^{\Gamma }X_{+}+b \end{vmatrix}}{\begin{Vmatrix} w \end{Vmatrix}}$

$d_{-}=\frac{\begin{vmatrix} w^{\Gamma }X_{-}+b \end{vmatrix}}{\begin{Vmatrix} w \end{Vmatrix}}$

又：

$w^{\Gamma }X_{+}+b=1$

$w^{\Gamma }X_{-}+b=-1$

得：

$margin=\frac{2}{\left \| w \right \|}$

最大化margin即：

$argmax_{w,b} \frac{2}{\left \| w \right \|}$ , $y_{i}\times (w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 1$ $\Rightarrow$

$argmin_{w,b} \left \| w \right \|$ , $\left \| w \right \|=(w1^{2}+w2^{2}+,,,+wn^{2})^{1/2}=(w^{\Gamma }w)^{1/2}$ $\Rightarrow$

$argmin_{w,b}w^{\Gamma }w$

求 $w^{\Gamma }w$ 最小值，需要对 $w^{\Gamma }w$ 求偏导数，令其等于0，得到可能的极值点

对其求偏导（可以看成w可以看成（w1,w2,w3,,,wn）,对 $w^{\Gamma }w$ 求偏导是多元函数求偏导，对wi求偏导）

$\frac{\partial w^{\Gamma }w}{\partial wi}=\frac{\partial (w1^{2}+w2^{2}+,,,wn^{2})}{\partial wi}=2wi$ $\Rightarrow$

$\frac{\partial \frac{1}{2}w^{\Gamma }w}{\partial wi}=wi$

故：

$argmax_{w,b} \frac{2}{\left \| w \right \|}$ , $y_{i}\times (w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 1$ $\Rightarrow$

$argmin_{w,b}\frac{1}{2}w^{\Gamma }w$

问题转化：求 $y_{i}\times (w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 1$ 条件下， $\frac{1}{2}w^{\Gamma }w$ 的极值->寻找多元函数不等式约束下的极值

拉格朗日乘子法：

优化-拉格朗日乘子法 - 知乎 (zhihu.com)

拉格朗日乘子法（Lagrange multipliers）是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法。

通过引入拉格朗日乘子，可将有 d个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d+k个变量的无约束优化问题求解。

即：求f(x)在g(x)<=0的极值点。转化为：求L(x,u)=f(x)+ug(x)（u表示为拉格朗日乘子）的极值点。

求L(x,u)极值点的条件：（KKT条件）

$\bigtriangledown _{x}L=\bigtriangledown f+u\bigtriangledown g=0$

$g(x)\leq 0$

$ug(x)= 0$

$u\geq 0$

求 $y_{i}\times (w^{\Gamma }x_{i}+b)\geq 1$ 条件下， $\frac{1}{2}w^{\Gamma }w$ 的极值，数学语言表示：

$argmin_{w,b}\frac{1}{2}w^{\Gamma }w$

$s.t. 1-yi(w^{\Gamma }xi+b)\leq 0$

$L(w,b,\alpha )=\frac{1}{2}w^{\Gamma }w+\sum \alpha _{i}[1-yi(w^{\Gamma }xi+b)]$

为什么公式中出现求和符号?

L(x,u)=f(x)+ug(x)中:一个u对应一个x.

L(w,b,a)中w={w1,w2,,,wn},需要对应n个拉格朗日乘子。 $L(w,b,\alpha )=\sum L(wi,b,\alpha i)$

KKT条件：

$\bigtriangledown _{w,b}L=0\Rightarrow$ $\frac{\partial L}{\partial w}=w-\sum aiyixi=0$ , $\frac{\partial L}{\partial b}=\sum aiyi=0$

$1-yi(w^{\Gamma }xi+b)\leq 0$ $\Rightarrow yi(wxi+b)\geq 1$

$\alpha _{i}[1-yi(w^{\Gamma }xi+b)]=0$

$\alpha _{i}\geq 0$

注意：对于不在两分类直线上的点（ $yi(wxi+b)> 1$ ）， $\alpha i=0$

如图所示：

将 $\frac{\partial L}{\partial w}=w-\sum aiyixi=0$ ， $\frac{\partial L}{\partial b}=\sum aiyi=0$

带入 $y=w^{\Gamma }x+b$ .

得 $y=\sum a_{i}y_{i}x_{i} ^{\Gamma }x+b$ .

SVM模型:

$y=\sum a_{i}y_{i}x_{i} ^{\Gamma }x+b$

小结：

1.Logistic算法和SVM的区别和联系：

模型不同： $y=\sum a_{i}y_{i}x_{i} ^{\Gamma }x+b$ 、 $y=w^{\Gamma }x+b$ ，Logistic模型更简单，SVM更复杂。

决策边界不同，都能解决分类问题：Logistic解决二分类问题，得到分类直线；SVM可以解决二分类，使用间隔最大化确定一个决策面。

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