【数据挖掘】国科大苏桂平老师数据库新技术课程作业 —

【数据挖掘】国科大苏桂平老师数据库新技术课程作业 —— 第一次作业

1

设关系 $r$ 和 $s$ 如下：
$\begin{array}{c} r&(A & B & C) \\ &\;\;a_2 & b_3 & c_2\; \\ &\;\;a_2 & b_1 & c_1\; \\ &\;\;a_2 & b_2 & c_1\; \\ &\;\;a_1 & b_1 & c_2\; \\ \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{array}{c} s&(B & C & D) \\ &\;\;b_1 & c_1 & d_1\; \\ &\;\;b_2 & c_1 & d_1\; \\ &\;\;b_2 & c_2 & d_1\; \\ \\ \end{array}$

计算下列表达式的值：

（1） $\sigma_{A=a_2}(r)$

$\sigma_{A=a_2}(r)=\\ \begin{array}{c} (A & B & C) \\ \;\;a_2 & b_3 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_1 & c_1\; \\ \;\;a_2 & b_2 & c_1\; \\ \end{array}$

（2）设 $A=\{a_1, a_2\}$ ， $B=\{b_1, b_2, b_3\}$ ， $C=\{c_1, c_2\}$ ， $D = \{d_1,d_2\}$ ，求 $r$ 和 $s$ 的补和有效补

记 $r$ 的补与有效补分别为 $\bar r$ 和 $\widetilde r$ ， $s$ 的补与有效补分别为 $\bar s$ 和 $\widetilde s$ ，则

$\bar r =\\ \begin{array}{c} (A & B & C) \\ \;\;a_1 & b_1 & c_1\; \\ \;\;a_1 & b_2 & c_1\; \\ \;\;a_1 & b_2 & c_2\; \\ \;\;a_1 & b_3 & c_1\; \\ \;\;a_1 & b_3 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_1 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_2 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_3 & c_1\; \\ \end{array}$

$\bar s =\\ \begin{array}{c} (B & C & D) \\ \;\;b_1 & c_1 & d_2\; \\ \;\;b_1 & c_2 & d_1\; \\ \;\;b_1 & c_2 & d_2\; \\ \;\;b_2 & c_1 & d_2\; \\ \;\;b_2 & c_2 & d_2\; \\ \;\;b_3 & c_1 & d_1\; \\ \;\;b_3 & c_1 & d_2\; \\ \;\;b_3 & c_2 & d_1\; \\ \;\;b_3 & c_2 & d_2\; \\ \end{array}$

$\because \\ \begin{align} {\rm adom}(A, r) &= \{a_1,a_2\} ={\rm dom}(A)\notag\\\notag {\rm adom}(B, r) &= \{b_1,b_2, b_3\} = {\rm dom}(B) \\\notag {\rm adom}(C, r) &= \{c_1,c_2\} = {\rm dom}(C)\notag \end{align}\\ \therefore \\ \widetilde r = \bar r=\\ \begin{array}{c} (A & B & C) \\ \;\;a_1 & b_1 & c_1\; \\ \;\;a_1 & b_2 & c_1\; \\ \;\;a_1 & b_2 & c_2\; \\ \;\;a_1 & b_3 & c_1\; \\ \;\;a_1 & b_3 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_1 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_2 & c_2\; \\ \;\;a_2 & b_3 & c_1\; \\ \end{array}$

$\because \\ \begin{align} {\rm adom}(A, s) &= \{b_1,b_2\} \notag\\\notag {\rm adom}(B, s) &= \{c_1,c_2\} \\\notag {\rm adom}(C, s) &= \{d_1\} \end{align}\\ \therefore \\ \widetilde s= \\ \begin{array}{c} (B & C & D) \\ \;\;b_1 & c_2 & d_1\; \\ \end{array}$

（3） $\pi_B(r)$
$\pi_B(r)=\\ \begin{array}{c} (B) \\ \;b_3\\ \;b_1\\ \;b_2 \end{array}$

2

设关系 $r$ 和 $s$ 如下：
$\begin{array}{c} r&(A & B & C) \\ &\;2 & 4 & 6\; \\ &\;3 & 5 & 7\; \\ &\;7 & 4 & 6\; \\ &\;5 & 4 & 7\; \\ \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{array}{c} s&(B & C & D) \\ &\;5 & 7 & 3\; \\ &\;4 & 6 & 2\; \\ &\;5 & 7 & 9\; \\ &\;5 & 6 & 3\; \\ \end{array}$
求 $r$ 与 $s$ 的自然连接。
$r\bowtie s=\\ \begin{array}{c} (A & B & C & D) \\ \;2 & 4 & 6 & 2\\ \;3 & 5 & 7 & 3\\ \;3 & 5 & 7 & 9\\ \;7 & 4 & 6 & 2\\ \end{array}$

3

关系 $R$ 和 $S$ 如表所示，求 $R\div S$

$\begin{matrix} R&(A & B & C & D) \\ &\;\;a_1 & b_1 & c_1 & d_1\; \\ &\;\;a_1 & b_1 & c_2 & d_2\; \\ &\;\;a_1 & b_1 & c_3 & d_3\; \\ &\;\;a_2 & b_2 & c_2 & d_2\; \\ &\;\;a_3 & b_3 & c_1 & d_1\; \\ &\;\;a_3 & b_3 & c_2 & d_2\; \\ \end{matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{matrix} S&(C & D) \\ &\;\;c_1 & d_1\; \\ &\;\;c_2 & d_2\; \\ \\\\\\\\ \end{matrix}$

$R\div S$ 可以通俗地理解为，将 $S$ 视为一个整体，找到 $R$ 中完全包含 $S$ 这个整体的元组，提取这些元组的非 $S$ 中的属性构成新的关系，故

$R\div S=\\ \begin{matrix} (A & B) \\ \;\;a_1 & b_1\\ \;\;a_3 & b_3\\ \end{matrix}$

Appendix

从网上找到两个比较典型的除法关系运算题目。

1. 已知 Student、Course、SC 三个关系，查询至少选修 $1$ 号和 $3$ 号课程的学生号码，写出关系代数运算表达式。

首先，目标属性是“学生号码”，所以经过除法运算后保留的属性应该是“学生号码”。由于查询是要根据“课程号码”，所以可以确定与“课程号码”有关，进而判断出该查询仅涉及 SC 关系。作为被除数的关系应该包括“学生号码”和“课程号码”，作为除数的关系应该只包括“课程号码”，这样除后的关系只剩“学生号码”。显然，作为被除数的关系为 $\pi_{\rm Sno,Cno}({\rm SC})$ 。作为除数的关系为属性为“课程号码”，值为 $1$ 和 $3$ 的一个临时关系，这个临时关系也可以由 SC 关系轻松构造， $\sigma_{\rm Cno=1 \;or\; Cno=3}(\pi_{\rm Cno}({\rm SC}))$ 。因此，最终运算表达式为
$\pi_{\rm Sno,Cno}({\rm SC}) \div \sigma_{\rm Cno=1 \;or\; Cno=3}(\pi_{\rm Cno}({\rm SC}))$
2. 已知 Student、Course、SC 三个关系，查询选修了全部课程的学生号码和姓名，写出关系代数运算表达式。

首先，目标属性是“学生号码”和“学生姓名”，除法运算后需要保留“学生号码”和”学生姓名“，这么看起来仿佛被除数关系应该是 Student 关系，因为只有 Student 关系中同时包含这两个属性，但从查询语句的语义中理解可以发现，被查询的关系应该为 SC 关系，本质上还是从选课关系中查找满足一定条件的学生。虽然 SC 关系中不包括”学生姓名“，但是确定了”学生号码“后，与 $\pi_{\rm Sno, Sname}({\rm Student})$ 做一下自然连接即可。因此，核心任务还是确定选修了全部课程的学生号码。

被除数关系是 SC 关系，除数关系对应的临时关系应该由”课程号码“属性和其全部取值构成，这显然不是通过 SC 关系实现，而是通过 Course 关系实现，即 $\pi_{\rm Cno}(\rm Course)$ 。因此，最终运算表达式为
$(\pi_{\rm Sno, Cno}({\rm SC})\div \pi_{\rm Cno}({\rm Course})) \bowtie\pi_{\rm Sno, Sname}(\rm Student)$