矢量位 A ⃗ \vec A A
由于磁感应强度 B ⃗ \vec B B 是无源场，散度为0， ∇ ⋅ B ⃗ = 0 \nabla \cdot \vec B =0 ∇⋅B=0, 因此引入矢量位 A ⃗ \vec A A, 满足
∇ × A ⃗ = B ⃗ \begin{align} \nabla \times \vec A &=\vec B \end{align} ∇×A=B
同时用洛伦兹条件限制矢量位的散度
∇ ⋅ A ⃗ + μ ε ∂ ∂ t φ = 0 \begin{align} \nabla \cdot \vec A & + \mu \varepsilon \frac{\partial }{\partial t}\varphi= 0 \end{align} ∇⋅A+με∂t∂φ=0
其中 φ \varphi φ 为标量位. − ∇ φ = E ⃗ -\nabla\varphi=\vec E −∇φ=E, E ⃗ \vec E E为电场强度
从式（1）可以看出，磁感应强度 B ⃗ \vec B B垂直于位矢量 A ⃗ \vec A A
传导电流密度 J ⃗ \vec J J
导体中的面电流密度 J ⃗ \vec J J 产生磁场。安培环路定律描述如下：
∮ l B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ ∫ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ = μ I \begin{align} \oint_l \vec B \cdot \textmd d\vec l &= \mu \int_S\vec J \cdot \textmd d \vec S = \mu I \end{align} ∮lB⋅dl=μ∫SJ⋅dS=μI
其微分形式表示为：
∇ × B ⃗ = μ J ⃗ \begin{align} \nabla \times \vec B &= \mu \vec J \end{align} ∇×B=μJ
从叉乘的定义上看，磁感应强度 B ⃗ \vec B B垂直于传导电流密度 J ⃗ \vec J J，
传导电流密度 J ⃗ \vec J J方向与位矢量 A ⃗ \vec A A的方向
根据以上可以看出，传导电流密度 J ⃗ \vec J J 方向与位矢量 A ⃗ \vec A A方向都垂直于磁感应强度 B ⃗ \vec B B的方向, 根据达朗贝尔方程可以推出，传导电流密度 J ⃗ \vec J J 方向与位矢量 A ⃗ \vec A A方向相同。
达朗贝尔方程中关于矢量位的方程如下：
∇ 2 A ⃗ − ∂ 2 ∂ t 2 A ⃗ = − μ J ⃗ \begin{align} \nabla^2\vec A-\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\vec A = -\mu \vec J \end{align} ∇2A−∂t2∂2A=−μJ
拉普拉斯算子
∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} ∇2=∇⋅∇=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2
是个标量。
如果 A ⃗ \vec A A 只含有z轴分量，x,y 轴分量均为0，则左边只含有 z 轴分量，为使等式两边相等，右边的 电流密度项 J ⃗ \vec J J项也应只含有 z 轴分量。
因此可以说矢量位 A ⃗ \vec A A方向与电流密度 J ⃗ \vec J J的方向相同
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