【动态规划】LeetCode-64.最小路径和

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题目

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。

说明:每次只能向下或者向右移动一步。

执行示例

示例 1:
输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出:7
解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
在这里插入图片描述

示例2:
输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出:12

提示

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200

题解

由题目可知,我们只能向下走或者向右走。反过来说,到达第i行第j列,其上一步是第i-1行第j列项下走1步,或者是第i行第j-1列向右走1步。例如:第0行第0列元素可以向下走到第1行第0列,或者向右走1步到第0行第1列,如下图左图所示。例如:第1行第1列元素可以从第0行第1列元素向下走1步到达,可以是从第1行第0列向右走1步到达。

在这里插入图片描述
题目要求到达右下角的最小路径和,我们可以使用一个dp表(二维数组)来保存到达第i行第j列的最小路径和。由于我们只能向下或向右走,所以第0行元素初始化规则为:dp[0][0]=grid[0][0],余下元素为dp[0][i]=dp[0][i-1]+grid[0][i]。同理,第0列元素初始化规则为:dp[0][0]=grid[0][0],余下元素为dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0]。示例1的第0行和第0列初始化示意图如下↓↓↓
在这里插入图片描述
而余下的元素的最小路径求解公式为dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+grid[i][j]。也就是说,到达当前位置可以从上一行同列元素向下走1步到达,也可以从上一列同一行元素向右走1步到达,选择从上到下还是从左到右,取决于哪个的最小路径和更小。下图演示示例1的执行过程↓↓↓
在这里插入图片描述
经过上面的分析,我们可以得到如下代码↓↓↓

class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int m = grid.size();int n = grid[0].size();vector<vector<int>>dp(m, vector<int>(n));dp[0][0] = grid[0][0];//初始化第0行for(int i = 1; i < n; i++)dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];//初始化第0列for(int i = 1; i < m; i++)dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];for(int i = 1; i < m; i++)for(int j = 1; j < n; j++)dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];return dp[m - 1][n - 1];}
};

上面的代码中,我们专门使用两处循环用于初始化第0行和第0列。我们可以通过对dp表增开1行1列,并将增开的1行1列的dp[0][1]和dp[1][0]初始化为0,余下元素初始化INT_MAX,即可省去上述初始化过程。构建的dp表如下图所示,其中※所在位置,对应上个代码的dp表。
ps:为什么要这么初始化呢?因为从我们总结出的公式dp[j][j]=min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1]可以看到,求解dp[0][0]时,min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])为0,则不会影响其结果;求解余下第0行和第0列的元素时,由于min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]),则一定不会选择INT_MAX,而会选择第0行的前1列元素或第0列的前1行元素。
在这里插入图片描述
上述思路实现的代码如下,代码行数确实有所减少↓↓↓

class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int m = grid.size();int n = grid[0].size();vector<vector<int>>dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));dp[0][1] = dp[1][0] = 0;for(int i = 1; i <= m; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];return dp[m][n];}
};

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