1 线性映射及其矩阵表示

• 映射定义

  设$A,B$是两个集合，如果存在一个规则$f$，使得对于$A$中的元素$x$都有$B$中唯一的元素$y$与之对应，则称$f$是从$A$到$B$的映射，记作：$f:A\to B$。在映射$f:A\to B$中，$A$的元素$x$被映射到$B$的元素$y$，我们通常写作$f(x)=y$，

  如果$\forall x_1,x_2\in A,x_1\ne x_2,f(x_1)\ne f(x_2)$，则称映射$f:A\to B$是单射的；

  如果$\forall y\in B,\exists x\in A,f(x)=y$，则称映射$f:A\to B$是满射的；

  如果映射$f:A\to B$既满足单射又满足满射，则称映射$f:A\to B$是双射的。

• 线性映射定义

  设$V,W$是在数域$F$上的向量空间，如果$\forall v_1,v_2\in V,\forall {\alpha }_1,{\alpha }_2\in F$有$\sigma ({\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2)={\alpha }_1\sigma (v_1)+{\alpha }_2\sigma (v_2)$，则从$V$到$W$的映射$\sigma$称为线性映射。

• 线性映射定理

  设$\sigma ,\gamma$是线性空间$V$到$W$的线性映射，则：

  1. $\sigma (0)=0$

  2. $\forall x\in V_1,\sigma (-x)=-\sigma (x)$

  3. 如果$x_1,\cdots ,x_n$是$V_1$的一组向量，$k_1,\cdots ,k_n\in F$，则有

     $\sigma (k_1{x}_1+\cdots +k_n{x}_n)=k_1\sigma (x_1)+\cdots +k_n\sigma (x_n)$

  4. 如果$x_1,\cdots ,x_n$是$V_1$的一组线性相关向量，则$\sigma (x_1),\cdots ,\sigma (x_n)$是$V_2$中的一组线性相关向量；并且当且仅当$\sigma$是一一映射时，$V_1$中的线性无关向量组的像（像即是线性映射的值域）是$V_2$中的线性无关向量组。

  5. 如果$v_1,\cdots ,v_n$是$V$的一组基，且$\sigma (v_i)=\gamma (v_i)(1\le i\le n)$，则$\sigma =\gamma$。==说明线性映射由基像组唯一确定。=

• 线性映射运算

  设$V_1$到$V_2$的所有线性映射组成的集合记为$\phi (V_1,V_2)$，类似地，$\phi (V_1,V_3),\phi (V_2,V_3)$分别表示$V_1$到$V_3$的所有线性映射组成的集合和$V_2$到$V_3$的所有线性映射组成的集合

  设$\sigma ,\gamma \in \phi (V_1,V_2)$，定义它们的和$\sigma +\gamma$为$(\sigma +\gamma )(x)=\sigma (x)+\gamma (x),\forall x\in V_1$。

  1. $\sigma ,\gamma \in \phi (V_1,V_2)$，则$\sigma +\gamma \in \phi (V_1,V_2)$
  2. $\sigma \in \phi (V_1,V_2),\gamma \in \phi (V_2,V_3)$，则$\sigma \gamma \in \phi (V_1,V_2)$

  线性映射的加法适合交换律和结合律，乘法适合结合律，标量乘法适合结合律，分配律。

• 重要定理

  设$\sigma \in \phi (V_1,V_2)$，如果$\sigma$是可逆映射，则${\sigma }^{-1}\in \phi (V_2,V_1)$。

• 线性映射的矩阵表示

  设$\sigma :U\to V$是一个线性映射，$[u_1,\cdots ,u_n]$是$U$的一组基，$\sigma$完全由$\sigma (u_1),\cdots ,\sigma (u_n)$确定，如果$u=x_1{u}_1+\cdots ,x_n{u}_n$，则$\sigma (u)=x_1\sigma (u_1)+\cdots +x_n\sigma (u_n)$。

  设$v_1,\cdots ,v_m$是$V$的一组基，则
  $$\begin{gathered} \sigma (u_1)=a_{11}{v}_1+\cdots +a_{1n}{v}_m \\ ⋮ \\ \sigma (u_n)=a_{n1}{v}_1+\cdots +a_{nn}{v}_m \end{gathered}$$
  故$[\sigma (u_1),\cdots ,\sigma (u_n)]=[v_1,\cdots ,v_m]A$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$。矩阵$A$称为线性映射$\sigma$在$U$的基$[u_1,\cdots ,u_n]$和$V$的基$[v_1,\cdots ,v_n]$下的表示矩阵。

• 重要定理

  设设$\sigma$为数域$F$上线性空间$U$到$V$的线性映射，其中$u_1,\cdots ,u_n$是$U$的一组基，$v_1,\cdots ,v_m$是$V$的一组基，$\sigma$在这对基下的矩阵是$A$，$$\begin{gathered} \forall \alpha ={\sum }_{ \\ i=1}^n{x}_i{u}_i \end{gathered}$$，有$$\begin{gathered} \sigma (\alpha )={\sum }_{ \\ i=1}^m{y}_i{v}_i \end{gathered}$$，则$[y_i,\cdots ,y_m{]}^T=A[x_1,\cdots ,x_n]$。

• 线性映射在不同基下的矩阵之间的关系

  同一个线性映射在不同基下的矩阵一般是不同的

  设$\sigma$为数域$F$上$n$维线性空间$U$到$n$维线性空间$V$的线性映射，其中$u_1,\cdots ,u_n$和$u_1^{\prime },\cdots ,u_n^{\prime }$是$U$的两组基，由$u_1,\cdots ,u_n$到$u_1^{\prime },\cdots ,u_n^{\prime }$的过渡矩阵是$Q$，$v_1,\cdots ,v_m$和$v_1^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime }$是$V$的两组基，由$v_1,\cdots ,v_m$到$v_1^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime }$的过渡矩阵是$P$，$\sigma$在基$u_1,\cdots ,u_n$与基$v_1,\cdots ,v_m$下的矩阵是$A$，而在基$u_1^{\prime },\cdots ,u_n^{\prime }$与基$v_1^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime }$的矩阵为$B$，则$B=P^{-1}AQ$。

  推导：

  因为：
  $$\begin{gathered} \sigma (u_1,\cdots ,u_n)=(v_1,\cdots ,v_m)A \\ \sigma (u_1^{\prime },\cdots ,u^{\prime })=(v_1^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime })B \\ (u_1^{\prime },\cdots ,u^{\prime })=(u_1,\cdots ,u_n)Q \\ (v_1^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime })=(v_1,\cdots ,v_m)P \end{gathered}$$
  则把式子代入得到：
  $$\begin{gathered} \sigma (u_1^{\prime },\cdots ,u^{\prime })=\sigma (u_1,\cdots ,u_n)Q \\ =(v_1,\cdots ,v_m)AQ \\ =(v_1^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime })P^{-1}AQ \end{gathered}$$
  因为线性映射$\sigma$的矩阵由基唯一确定，所以$B=P^{-1}AQ$。

• 相抵

  设$A,B\in F^{m\times n}$，如果存在数域$F$上的$m$阶非奇异矩阵$P$和$n$阶非奇异矩阵$Q$使得$B=PAQ$，则称$A$与$B$相抵（等价）。

  如果$A$与$B$相抵，则它们可作为$n$维线性空间$U$到$m$维线性空间$V$的同一线性映射在两对基所对应的矩阵。

  相抵的充分必要条件是它们有相同的秩。

2 线性映射的值域（像）和核

• 值域（像）和核的定义

  设$\sigma$为数域$F$上线性空间$U$到$V$的线性映射，令 R ( σ ) = I m ( σ ) = { σ ( x ) ∣ x ∈ U } R(\sigma)=I_m(\sigma)=\{\sigma(x)| x\in U\} R(σ)=Im​(σ)={σ(x)∣x∈U}， K e r ( σ ) = N ( σ ) = { x ∈ U ∣ σ ( x ) = 0 } Ker(\sigma)=N(\sigma)=\{x\in U|\sigma(x)=0\} Ker(σ)=N(σ)={x∈U∣σ(x)=0}。

  称$R(\sigma )$是线性映射$\sigma$的值域（也称像），$Ker(\sigma )$是线性映射$\sigma$的核。

  易知$R(\sigma )$是$V$的一个子空间，$Ker(\sigma )$是$U$的一个子空间。

• 值域（像）和核理解

  值域（像）是映射所能到的空间，它包含了所有在映射过程中真实映射到的点，描述了映射的覆盖范围。值域（像）是目标空间 $W$的一个子空间。

  核是映射的零空间，它包含了所有被映射到零的输入向量，描述了映射的非单射性，即存在映射到同一个元素的不同输入。核是定义在$V$上的一个子空间。

• 定理

  设$\sigma$为数域$F$上$n$维线性空间$U$到$n$维线性空间$V$的线性映射，其中$u_1,\cdots ,u_n$是$U$的一组基，$v_1,\cdots ,v_m$是$V$的一组基，$\sigma$在这对基下的矩阵是$A$，则

  1. $R(\sigma )=span(\sigma (u_1),\cdots ,\sigma (u_n))$
  2. $rank(\sigma )=rank(A)$
  3. $dim(R(\sigma ))+dim(Ker(\sigma ))=n$

3 线性变换

• 定义

  设$V$是数域$F$上的线性空间，$V$到自身的线性映射称为$V$上的线性变换。

• $n$维线性空间$V$上的线性变换与矩阵之间的关系

  设$\sigma$是在$V$上的线性变换，$v_1,\cdots ,v_n$是一组基，则
  $$\begin{gathered} \sigma (v_1)=a_{11}{v}_1+\cdots +a_{1n}{v}_m \\ ⋮ \\ \sigma (v_n)=a_{n1}{v}_1+\cdots +a_{nn}{v}_m \end{gathered}$$
  故$[\sigma (v_1),\cdots ,\sigma (v_n)]=[v_1,\cdots ,v_m]A$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$。矩阵$A$称为线性变换$\sigma$在$U$的基$[v_1,\cdots ,v_n]$下的表示矩阵。

• 重要定理

  设$n$维线性空间$V$上线性变换$\sigma$在基$v_1,\cdots ,v_n$和$v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime }$下的矩阵分别为$A$和$B$，由基$v_1,\cdots ,v_n$到基$v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime }$的过渡矩阵为$P$，则$B=P^{-1}AP$

  推导：

  因为
  $$\begin{gathered} (v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })=(v_1,\cdots ,v_n)P \\ \sigma (v_1,\cdots ,v_n)=(v_1,\cdots ,v_n)A \\ \sigma (v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })=(v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })B \end{gathered}$$
  则代入得到
  $$

  $$

  $$\begin{gathered} \sigma (v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })=\sigma (v_1,\cdots ,v_n)P \\ =(v_1,\cdots ,v_n)AP \\ \sigma (v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })=(v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })B \\ (v_1,\cdots ,v_n)AP=(v_1^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime })B=(v_1,\cdots ,v_n)PB \end{gathered}$$

  所以$AP=PB$，左乘$P^{-1}$，得$B=P^{-1}AP$。

• 相似

  设$A,B\in F^{m\times n}$，如果存在可逆矩阵$P\in F^{n\times n}$使得$B=P^{-1}AB$，则称$A$与$B$相似。

4 酉变换和正交变换

• 定义

  设$V$是$n$维酉（欧式）空间（一个在复数（实数）域上的内积空间），$\sigma :V\to V$是线性变换，如果
  $$\forall x\in V,||\sigma (x)||=||x||$$
  $\sigma$就称为酉（正交）变换

• 定理

  1. 设$V$是$n$维酉（欧式）空间（一个在复数（实数）域上的内积空间），如果$\sigma :V\to V$是酉（正交）变换，则
     $$\forall x,y\in V,(\sigma (x),\sigma (y))>=(x,y)$$

  2. 即酉（正交变换）保持向量的内积。

  3. 如果$v_1,\cdots ,v_n$是$V$的一组标准正交基，则$\sigma (v_1),\cdots ,\sigma (v_n)$也是$V$的一组标准正交基。

  4. $\sigma$在$V$的任意一组标准正交基下的矩阵是酉（正交）矩阵。

  5. 设$v=[v_1,\cdots ,v_n]$是酉（欧式）空间$V$的一组标准正交基，$A$维$\sigma :V\to V$在基$v$的表示矩阵为$A$，则$\sigma$是一个酉（正交）变换当且仅当$A^{H}A=I(A^T=I)$。

     即，$A$的列向量组成了$C^n(R^n)$的标准正交基。

5 同态和同构

• 定义

  设$V$和$W$是在相同数域$F$上的两个向量空间，$\sigma :V\to W$是线性变换（也称为同态）。如果$\sigma$是一一对应的，则称为同构。

  如果存在从$V$到$W$的同构，则称$V$与$W$同构。

  对于同构 σ : V → W , k e r ( σ ) = { 0 } a n d σ ( V ) = W \sigma: V\rightarrow W,ker(\sigma)=\{0\} \space and \space \sigma(V)=W σ:V→W,ker(σ)={0} and σ(V)=W。

• 定理

  1. 设$V$和$W$是在相同数域$F$上的两个向量空间，$\sigma$是从$V$到$W$的同构，$S$为$V$的子空间，则$\dim (S)=\dim (\sigma (S))$。即，两个同构空间有相同的维数（充要条件）。
  2. 设$\sigma$是从$V$到$W$的同构，则${\sigma }^{-1}$是从$W$到$V$的同构
  3. 数域 $F$ 上任意一个 $n$维 向量空间$V$同构于向量空间 $F^n$。

• 性质

  同构具有如下性质：

  1. 自反性
  2. 对称性
  3. 传递性

6 不变子空间

• 定义

  设$\sigma :V\to V$是线性变换，如果$V$的子空间$S$满足$\forall x\in S,\sigma (x)\in S$，即$\sigma (x)\subset S$，则称$S$是一个不变子空间。

  ==当说到不变子空间时，要指明是在什么映射下是不变的。==利用$\sigma$-不变子空间，我们可以简化$\sigma$的表示矩阵。

• 矩阵的不变子空间

  设$A\in F^{n\times n}$，${\sigma }_A:F^n\to F^n$被定义为：${\sigma }_A(x)=Ax$，$F^n$的子空间$S$如果满足$\forall x\in S,Ax\in S$，则称$S$是$\sigma $-不变子空间。

• 定理

  1. 设$\sigma :V\to V$是线性变换，则两个$\sigma$-不变子空间的交、和、直和也是$\sigma$-不变子空间。
  2. 设$\sigma$是在向量空间$V$上的线性变换， W = s p a n { x 1 , ⋯ , x k } W=span\{x_1,\cdots,x_k\} W=span{x1​,⋯,xk​}是$V$的$\sigma$-不变子空间当且仅当$\sigma (x_i)\in W(i=1,2,\cdots ,k)$。
  3. 设$\sigma$是数域$F$上$n$维向量空间$V$上的线性变换，则$\sigma$可以对角化的充要条件是$V$可以分解成$\sigma$的一维不变子空间的直和。
  4. 设$\sigma$是数域$F$上$n$维向量空间$V$上的线性变换，则$\sigma$在$V$的一组基下的矩阵为形如$\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right)$的块上三角矩阵的充要条件是$\sigma$的非平凡的不变子空间。
  5. 设$\sigma$是数域$F$上$n$维向量空间$V$上的线性变换，则$\sigma$在$V$的一组基下的矩阵为块对角巨好着呢的充要条件是$V$可以分解成$\sigma$的若干个非平凡不变子空间的直和。