【数值计算方法(黄明游)】矩阵特征值与特征向量的计算(二):Jacobi 过关法(Jacobi 旋转法的改进)【理论到程序】

文章目录

  • 一、Jacobi 旋转法
    • 1. 基本思想
    • 2. 注意事项
  • 二、Jacobi 过关法
    • 1. 基本思想
    • 2. 注意事项
  • 三、Python实现
    • 迭代过程(调试)

  矩阵的特征值(eigenvalue)和特征向量(eigenvector)在很多应用中都具有重要的数学和物理意义。Jacobi 旋转法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的迭代方法,Jacobi 过关法是 Jacobi 旋转法的一种改进版本,其主要目的是减少计算工作和提高运行速度。

  本文将详细介绍Jacobi 过关法的基本原理和步骤,并给出其Python实现。

一、Jacobi 旋转法

  Jacobi 旋转法的每一次迭代中,需要选择一个非对角元素最大的位置,然后构造相应的旋转矩阵,进行相似变换,使得矩阵逐渐对角化。

  • 对称矩阵是一个实数矩阵,其转置与自身相等。
  • 对于一个方阵 A A A,如果存在标量 λ λ λ 和非零向量 v v v,使得 A v = λ v Av = λv Av=λv,那么 λ λ λ 就是 A A A 的特征值, v v v 就是对应于 λ λ λ 的特征向量。

1. 基本思想

  Jacobi 旋转法的基本思想是通过一系列的相似变换,逐步将对称矩阵对角化,使得非对角元素趋于零。这个过程中,特征值逐渐浮现在对角线上,而相应的特征向量也被逐步找到。下面是 Jacobi 旋转法的基本步骤:

  1. 选择旋转角度: 选择一个旋转角度 θ,通常使得旋转矩阵中的非对角元素为零,从而实现对角化,通常选择非对角元素中绝对值最大的那个作为旋转的目标。

  2. 构造旋转矩阵: 构造一个旋转矩阵 J,该矩阵为单位矩阵,只有对应于选择的非对角元素的位置上有两个非零元素,其余位置上为零。这两个非零元素的值由旋转角度 θ 决定,例如,对于 2x2 矩阵,旋转矩阵可以表示为:
    J = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] J = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} J=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]

  3. 相似变换: 计算相似变换矩阵 P P P,即 P T A P P^TAP PTAP,其中 A A A 是原始矩阵, P P P 是旋转矩阵,计算过程如下:

P T A P = [ cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] T [ a 11 a 12 a 12 a 22 ] [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] P^TAP = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} PTAP=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]T[a11a12a12a22][cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]

  通过矩阵相乘计算,我们可以得到 P T A P P^TAP PTAP 中的非对角元素,假设这两个元素分别位于矩阵的 (1,2) 和 (2,1) 的位置。令 a i j a_{ij} aij 为这两个元素,即 a i j = a 12 = a 21 a_{ij}= a_{12} = a_{21} aij=a12=a21

  接下来,我们希望通过选择合适的 θ \theta θ使得 a i j a_{ij} aij 变为零,从而达到对角化的目的,即 a 12 = a 21 a_{12} = a_{21} a12=a21,进一步可推导出

θ = 1 2 arctan ⁡ ( 2 ⋅ a i j a i i − a j j ) \theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}}\right) θ=21arctan(aiiajj2aij)

  • a i i = a j j a_{ii}=a_{jj} aii=ajj,则使用 a r c c o t arccot arccot形式
  1. 迭代: 重复步骤 1-3,直到矩阵 A 的非对角元素都趋于零或满足一定的精度要求。

  2. 提取特征值和特征向量: 对角线上的元素即为矩阵 A 的特征值,而 P 中的列向量即为对应于这些特征值的特征向量。

2. 注意事项

  Jacobi 旋转法的优点是可以用于任意大小的对称矩阵,但其缺点是迭代次数较多,计算量较大。在实际应用中,通常会结合其他方法来提高计算效率。

二、Jacobi 过关法

  Jacobi 过关法(Jacobi’s threshold method)是 Jacobi 旋转法的一种改进版本,其主要目的是减少计算工作和提高运行速度。该方法通过动态调整阈值,并根据阈值对非对角元素进行选择性的旋转变换,以逐步对角化对称矩阵。

1. 基本思想

  1. 计算非对角元素平方和: 对于对称矩阵 A A A,计算其非对角元素平方和,表示为 u ( A ) u(A) u(A)。然后取平方根,得到 r ( A ) = u ( A ) r(A) = \sqrt{u(A)} r(A)=u(A)

  2. 设定初始阈值 θ \theta θ 预先设定一个初始阈值 θ 0 \theta_0 θ0

  3. 扫描非对角元素: 对于 a i j a_{ij} aij 其中 i ≠ j i \neq j i=j,扫描矩阵的上三角或下三角部分。

  4. 进行选择性旋转变换: 对于绝对值大于当前阈值 $\theta $的非对角元素 a i j a_{ij} aij,进行 Jacobi 旋转变换,将其旋转为零。旋转变换的具体步骤如下:

    • 选择旋转角度 ϕ \phi ϕ,通常通过 tan ⁡ ( 2 ϕ ) = 2 a i j a i i − a j j \tan(2\phi) = \frac{2a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}} tan(2ϕ)=aiiajj2aij计算。
    • 构造旋转矩阵 J J J,其中除了 J i i J_{ii} Jii J j j J_{jj} Jjj 外的元素都为零,而 J i j J_{ij} Jij J j i J_{ji} Jji 元素由 cos ⁡ ( ϕ ) \cos(\phi) cos(ϕ) − sin ⁡ ( ϕ ) -\sin(\phi) sin(ϕ)决定。
    • 执行相似变换 A = J T A J A = J^T A J A=JTAJ
  5. 调整阈值 θ \theta θ 当所有非对角元素的绝对值都小于当前阈值 θ \theta θ 时,缩小阈值,即 θ i + 1 = γ ⋅ θ i \theta_{i+1} = \gamma \cdot \theta_i θi+1=γθi,其中 γ \gamma γ 是一个缩小因子。

  6. 重复步骤 3-5: 重复上述步骤,直到满足某个收敛条件,例如 θ k < ϵ \theta_k < \epsilon θk<ϵ,其中 ϵ \epsilon ϵ是一个很小的正数。

2. 注意事项

  通过不断调整阈值并选择性地进行旋转变换,Jacobi 过关法逐渐减小非对角元素的绝对值,以达到更好的数值稳定性。这种方法的优点在于,通过智能地选择非对角元素进行变换,可以有效减少迭代次数,提高计算效率。

三、Python实现

import numpy as npdef jacobi_threshold_method(A, epsilon=1e-10, gamma=0.9):n = A.shape[0]theta = np.sqrt(np.sum(np.abs(np.triu(A, k=1)) ** 2))eigenvectors = np.eye(n)while theta > epsilon:for i in range(n):for j in range(i + 1, n):if np.abs(A[i, j]) > theta:# 计算旋转角度phi = 0.5 * np.arctan2(2 * A[i, j], A[i, i] - A[j, j])# 构造旋转矩阵J = np.eye(n)J[i, i] = J[j, j] = np.cos(phi)J[i, j] = -np.sin(phi)J[j, i] = np.sin(phi)# 执行相似变换A = np.dot(np.dot(J.T, A), J)# 更新特征向量eigenvectors = np.dot(eigenvectors, J)# 缩小阈值theta *= gamma# 提取特征值和特征向量eigenvalues = np.diag(A)return eigenvalues, eigenvectors# 示例矩阵
A = np.array([[2, -1, 0], [-1, 2, -1], [0, -1, 2]])# 执行 Jacobi 过关法
eigenvalues, eigenvectors = jacobi_threshold_method(A)print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:")
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
print(eigenvectors)

在这里插入图片描述

迭代过程(调试)

  • 第一次:

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

………

  • final:
    在这里插入图片描述

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/189028.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

c语言:模拟实现atoi函数

atoi函数的功能和用法&#xff1a; 主要功能&#xff1a;将字符串转换为整数。例如&#xff0c;将字符类型的“123”转换为整数123. #include <stdio.h> #include <stdlib.h>int main() {char str[] "123";int num atoi(str);printf("Converted …

【matlab程序】画海洋流场

【matlab程序】画海洋流场 clear;clc; file ( ‘0227.nc’); latncread(file,‘latitude’); lonncread(file,‘longitude’); uncread(file,‘water_u’); vncread(file,‘water_v’); [x,y]meshgrid(lon,lat); xx’; yy’; interval4; figure (1) set(gcf,‘color’,[1 1 1…

3D云参观红色革命纪念馆允许更多人在线交流、体验

生活在和平年代的新一代青少年&#xff0c;可能对革命先烈英勇事迹难以有很深的体会&#xff0c;无法切实感受到中国共产党无畏牺牲、誓死保家卫国的红色精神&#xff0c;因此借助VR虚拟现实制作技术&#xff0c;让参观者们走近革命先烈中&#xff0c;感受老一辈无产阶级革命家…

domjudge题目配置和开比赛

系统使用的是7.3.3&#xff0c;domjudge配置的方法请参考前文 domjudge配置-CSDN博客 题目导入 传统比较 首先可以去domjudge中随便下载一个题目&#xff0c;下载下来的压缩包应该是这样的 │ domjudge-problem.ini │ problem.pdf │ problem.yaml │ └─data└─sec…

模型层(回顾补充)

1.1基本使用 orm框架---》对象关系映射 数据库中&#xff1a;一个个表 &#xff1a;user表&#xff0c;book表&#xff0c;一条条的记录 程序中&#xff1a;一个个类&#xff0c;一个个对象 以后数据库中一张表---》对应程序中一个类 以后数据库中一条记录--》对应…

12月01日,每日信息差//阿里国际发布3款AI设计生态工具//美团买菜升级为“小象超市”//外国人永居证换新、6国游客免签来华

_灵感 &#x1f396; 阿里国际发布3款AI设计生态工具 &#x1f384; AITO问界系列11月交付新车18827辆 &#x1f30d; 美团买菜升级为“小象超市” &#x1f30b; 全球首个金融风控大模型国际标准出炉&#xff0c;由腾讯牵头制定 &#x1f381; 支付宝&#xff1a;支持外国人…

Python函数关键字参数及用法

在定义 Python 函数时可定义形参&#xff08;形式参数的意思&#xff09;&#xff0c;这些形参的值要等到调用时才能确定下来&#xff0c;由函数的调用者负责为形参传入参数值。简单来说&#xff0c;就是谁调用函数&#xff0c;谁负责传入参数值。 Python 函数的参数名不是无意…

Appium 元素定位与常用方法,让你轻松玩转自动化测试!

对测试人来说&#xff0c;Appium 是非常重要的一个开源跨平台自动化测试工具&#xff0c;它允许测试人员在不同的平台&#xff08;iOS、Android 等&#xff09;使用同一套 API 来写自动化测试脚本&#xff0c;这样可大幅提升代码复用率和工作效率。 本文汇总了从 Appium 基础到…

Python列表切片操作详解:提取、复制、反转等应用示例

更多资料获取 &#x1f4da; 个人网站&#xff1a;ipengtao.com 在Python中&#xff0c;列表切片是处理列表数据非常强大且灵活的方法。本文将全面探讨Python中列表切片的多种用法&#xff0c;包括提取子列表、复制列表、反转列表等操作&#xff0c;结合丰富的示例代码进行详细…

直饮水表与智能水表有哪些区别?

随着科技的不断进步,智能家居的概念正逐渐深入人们的生活。其中,直饮水表和智能水表作为创新科技的代表,在水资源的使用和管理方面发挥了重要作用。然而,这两者之间存在一些关键的区别。那么&#xff0c;直饮水表与智能水表到底有哪些区别呢&#xff1f; 直饮水表和智能水表都是…

java+springboot学生宿舍公寓管理系统xueshenggongy

经过查阅资料和调查统计发现&#xff0c;高校学生宿舍管理工作变得越来越繁重和琐碎&#xff0c;如在学生住宿安排&#xff08;特别是新生住宿安排&#xff09;、宿舍大幅调换、公共设施统计维护、宿舍杂费统计收取、宿舍卫生管理统计、出入登记记录等各个方法存在着大量问题和…

【Python 训练营】N_14 文件查找和替换

题目 新建一个test3.txt文件&#xff0c;内容如下图&#xff0c;然后从中查找字符串’five’&#xff0c;并统计出现的次数&#xff1b;替换其中的’five’字符串为’python’。 分析 类似Excel中的查找和替换&#xff0c;查找相应内容需用到正则&#xff0c;还考察文件打开、…

Leecode 【一】

环形链表: 给你一个链表的头节点 head &#xff0c;判断链表中是否有环。 如果链表中有某个节点&#xff0c;可以通过连续跟踪 next 指针再次到达&#xff0c;则链表中存在环。 为了表示给定链表中的环&#xff0c;评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置&…

以太网PHY,MAC接口

本文主要介绍以太网的 MAC 和 PHY&#xff0c;以及之间的 MII&#xff08;Media Independent Interface &#xff0c;媒体独立接口&#xff09;和 MII 的各种衍生版本——GMII、SGMII、RMII、RGMII等。 简介 从硬件的角度看&#xff0c;以太网接口电路主要由MAC&#xff08;M…

二叉树展开为链表的三种写法

二叉树展开为链表 链表头节点法 新建一个树形链表&#xff0c;前序遍历这个树&#xff0c;遍历到一个节点就往里插 class Solution {TreeNode dummyNode new TreeNode(0,null,null);TreeNode p dummyNode;public void flatten(TreeNode root) {if(root null) return;//线序…

微软 Power Platform 零基础 Power Pages 网页搭建教程学习实践(一)

微软 Power Platform 零基础 Power Pages 网页搭建教程学习实践 Power Pages 网页搭建 微软 Power Platform 零基础 Power Pages 网页搭建教程学习实践1、Power Pages 介绍2、开始创建一个站点3、选择一个合适的模板4、编辑我们的模板5、面向专业开发人员的高级开发功能6、预览…

深搜回溯剪枝优化策略-全排列II

LCR 084. 全排列 II - 力扣&#xff08;LeetCode&#xff09; 这道题的主体思想和之前讲过的全排列是相似的&#xff0c;不同的是思考的角度要侧重于剪枝方向&#xff0c;所以可以通过这道题对剪枝思想的进一步扩展&#xff1b; 通过题意&#xff0c;可以知道&#xff0c;在上一…

STM32CubeIDE(CUBE-MX hal库)----蓝牙模块HC-05(详细配置)

系列文章目录 STM32CubeIDE(CUBE-MX hal库)----初尝点亮小灯 STM32CubeIDE(CUBE-MX hal库)----按键控制 STM32CubeIDE(CUBE-MX hal库)----串口通信 STM32CubeIDE(CUBE-MX hal库)----定时器 文章目录 系列文章目录前言一、蓝牙配置二、CUBE-MX可视化配置三、蓝牙APP调试助手四、…

PMIC : 一颗芯片解决N多问题

1、什么是PMIC Power Management Integrated Circuit&#xff08;PMIC&#xff09;中文是电源管理集成电路&#xff0c;主要特点是高集成度&#xff0c;将传统的多路输出电源封装在一颗芯片内&#xff0c;使得多电源应用场景高效率更高&#xff0c;体积更小。 PMIC 是当今电子…

嵌入式基础电路设计和常用芯片用法

文章目录 一、基础电路1. 按键电路2. 晶振电路3. 降压电路 二、常见芯片1. SN74HC244PWR2. TLP23623. ACS7244. LM3585. EL357-NB6. SMBJ30CA 一、基础电路 1. 按键电路 观察以上电路可知&#xff1a; 在按键SW1不按下的时候引脚BTN1是接着3V3的&#xff0c;所以默认为高电平…