【动态规划】LeetCode-面试题08.01三步问题

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题目

题目描述

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

执行示例

示例1:
输入：n = 3
输出：4
说明: 有四种走法

示例2:
输入：n = 5
输出：13

提示

n范围在[1, 1000000]之间

题解

由题目可知，爬到第1个台阶的方法数为1种，即从起始处爬1步到达；爬到第2个台阶的方法数有2种，即从开始处爬2步到达或从第1个台阶爬1步到达；爬到第3个台阶的方法数有4种，即从开始处爬3步到达、从第1个台阶爬2步到达或从第2个台阶爬1步到达…即，求爬到第n个台阶的方法数就等于将到达第n个台阶前的3个台阶的方法数相加，从而得到状态转移方程为 $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2) + f (n - 3)$ 。上面已经知道到达第1到3号台阶的方法数，再通过状态转移方程就可以求出第4号台阶及以后台阶的方法数。实现代码如下↓↓↓

class Solution {
public:int waysToStep(int n) {if(n == 1) return 1;if(n == 2) return 2;const int MOD = 1000000007;vector<int>dp(n);dp[0] = 1;dp[1] = 2;dp[2] = 4;for(int i = 3; i < n; i++)dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;return dp[n - 1];}
};

上面算法的时空复杂度均为O(N)，我们可以使用滚动数组的方式，将空间复杂度优化为O(1)。我们可以设置四个变量mostpre、ppre、pre、cur，分别表示到达n-3、n-2、n-1和n号台阶的方法数。初始状态下，mostpre、ppre、pre、cur分别初始化为1、2、4、7，即到达第1-4号台阶的方法数。通过mostpre=ppre、ppre=pre、pre=cur操作，此时mostpre、ppre、pre分别保存到达第2、3、4号台阶的方法数，再通过cur=mostpre+ppre+pre可计算出第5号台阶的方法数。以此类推，可求出到达后续台阶的方法数，实现代码如下↓↓↓

class Solution {
public:int waysToStep(int n) {const int MOD = 1000000007;if(n == 1) return 1;if(n == 2) return 2;if(n == 3) return 4;int mostpre = 1, ppre = 2, pre = 4, cur = 7;for(int i = 4; i < n; i++){mostpre = ppre;ppre = pre;pre = cur;cur = ((mostpre + ppre) % MOD + pre) % MOD;}return cur;}
};