题目1：70 爬楼梯（进阶版）

题目链接：爬楼梯

对题目的理解

需要爬n阶才能到达楼顶，每次可以至多爬m个台阶，m的区间是[1,n)，有多少种方法爬到楼顶

本题是一个完全背包问题，每一阶都可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶，1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法

动规五部曲

1）dp数组及下标i的含义

dp[j]表示容量为j的背包的最大价值

本题的含义就是：走到第j阶楼梯，有几种走法，最终求的是dp[n]

2）递推公式

dp[j]+=dp[j-i]   i代表本次走的阶梯数   

3）dp数组初始化

dp[0]=1,因为递推公式是递加的，如果初始化为0的话，那么dp数组全为0，初始化为1，相当于初始化了根基，其余下标为非零的dp[j]初始化为0，因为递推公式是递加的关系，所以初始化为0，才能不掩盖求得的dp数组的值

4）遍历顺序

因为本题求的是完全背包的排列问题，所以需要先正序遍历背包，后正序遍历物品，这样才可以求得最终的排列

5）打印dp数组

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;//定义并初始化dp数组vector<int> dp(n+1,0);dp[0]=1;//递推,排列问题，先正序遍历背包，后正序遍历物品for(int j=1;j<=n;j++){for(int i=1;i<=m;i++){if(j>=i) dp[j]+=dp[j-i];}}cout<<dp[n]<<endl;
}

• 时间复杂度: O(n * m)
• 空间复杂度: O(n)

题目2：322 零钱兑换

题目链接：零钱兑换

对题目的理解

整数数组coins中的每个元素代表不同面额的硬币，整数amount表示总金额

返回可以凑成总金额所需的最少的硬币数，如果没有，则-1，其中每种硬币可无限次使用

硬币无限次使用，说明这是典型的完全背包问题

动规五部曲

1）dp数组及下标i的含义  

装满容量为j的背包，最少物品个数为dp[j]   最终要求dp[amount]

2）递推公式

dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)   因为放入一个物品，减去coins[i]，但是个数要加1，

3）dp数组初始化

dp[0]=0  测试用例已给出    对于非零下标 考虑到递推公式， 本题因为求的是二者的最小值，所以将dp[j]初始化为最大值INT_MAX，这样递推式得到的值才不会被覆盖

4）遍历顺序

本题求的是最小硬币数，顺序颠不颠倒都无所谓，所以先遍历物品，还是先遍历背包，都行

5）打印dp数组

代码(先遍历物品，后遍历背包)

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {//定义并初始化dp数组vector<int> dp(amount+1,INT_MAX);dp[0]=0;//递推for(int i=0;i<coins.size();i++){for(int j=coins[i];j<=amount;j++){if(dp[j-coins[i]]!=INT_MAX) dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);}}if(dp[amount]==INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

• 时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
• 空间复杂度: O(amount)

代码（先遍历背包后遍历物品）

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {//定义并初始化dp数组vector<int> dp(amount+1,INT_MAX);dp[0]=0;//递推for(int j=0;j<=amount;j++){for(int i=0;i<coins.size();i++){if(j>=coins[i] && dp[j-coins[i]]!=INT_MAX) dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);}}if(dp[amount]==INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

• 时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
• 空间复杂度: O(amount)

题目3：279 完全平方数

题目链接：完全平方数

对题目的理解

返回和为n的完全平方数的最小数量，其中完全平方数可以重复使用，因此是一个完全背包问题

完全平方数是物品，n是背包

任何一个数都可以凑成完全平方数的总和，因为完全平方数有1

动规五部曲

1）dp数组及下标i的含义

dp[j]:背包容量为j时，完全平方数的最小数量是dp[j]   最终求的是dp[n]

2）递推公式

我怎么表示完全平方数呢？使用i*i

dp[j]=min(dp[j-i*i]+1,dp[j])

3）dp数组初始化

dp[0]=0  因为题目给的n至少是1，根据递推公式，dp[0]要从0开始，这样才能继续向下推导，而根据递推公式，求得是二者的最小值，所以将非零下标对应的dp[j]初始化为最大值INT_MAX

4）遍历顺序

本题求的也是最少数量，与顺序无关，所以先遍历物品，还是先遍历背包均可

5）打印dp数组

代码(先遍历物品后遍历背包)

class Solution {
public:int numSquares(int n) {//定义并初始化dp数组vector<int> dp(n+1,INT_MAX);dp[0]=0;//递推for(int i=1;i*i<=n;i++){for(int j=i*i;j<=n;j++){dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);}}return dp[n];//注意本题不像上一题，有不存在的现象，任何一个数都会由若干个完全平方数组成    }
};

• 时间复杂度: O(n * √n)
• 空间复杂度: O(n)

代码（先遍历背包后遍历物品）

class Solution {
public:int numSquares(int n) {//定义并初始化dp数组vector<int> dp(n+1,INT_MAX);dp[0]=0;//递推for(int j=0;j<=n;j++){for(int i=1;i*i<=n;i++){if(j>=i*i) dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);}}return dp[n];//注意本题不像上一题，有不存在的现象，任何一个数都会由若干个完全平方数组成    }
};

• 时间复杂度: O(n * √n)
• 空间复杂度: O(n)