简单线性回归，是一种使用单个特征预测响应的方法。 它是机器学习爱好者了解的最基本的机器学习模型之一。 在线性回归中，我们假设两个变量，即因变量和自变量是线性相关的。 因此，我们尝试找到一个线性函数，作为特征或自变量 (x) 的函数，尽可能准确地预测响应值 (y)。 让我们考虑一个数据集，其中每个特征 x 都有一个响应 y 值：
$$\begin{array}{ccccccccccc}\mathbf{x}& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathbf{y}& 1& 3& 2& 5& 7& 8& 8& 9& 10& 12\end{array}$$
为了一般性，我们定义：

x 作为特征向量，比如 $x=\left[x_{-}1,x_{-}2,\dots ,x_{-}n\right]$

y 作为响应向量，比如 $y=\left[y_{-}1,y_{-}2,\dots ,y_{-}n\right]$

对于 n 个观测值（在上面的示例中，n=10）。上述数据集的散点图如下所示：

现在，任务是在上面的散点图中找到一条最适合的线，以便我们可以预测任何新特征值的响应。 （即数据集中不存在 x 的值）这条线称为回归线。 回归线的方程表示为：
$$h\left(x_i\right)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i$$

• $h\left(x_i\right)$表示第 i 个观测值的预测响应值。
• ${\beta }_0$和${\beta }_1$是回归系数，分别表示回归线的 y 截距和斜率。

为了创建我们的模型，我们必须“学习”或估计回归系数 ${\beta }_0$ 和 ${\beta }_1$ 的值。一旦我们估计了这些系数，我们就可以使用该模型来预测响应！

在本文中，我们将使用最小二乘法原理。
$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i=h\left(x_i\right)+{\epsilon }_i\Rightarrow {\epsilon }_i=y_i-h\left(x_i\right)$$
这里，${\epsilon }_i$ 是第 i 个观测值的残差。因此，我们的目标是最小化总残差。我们将平方误差或成本函数 J 定义为：
$$J\left({\beta }_0,{\beta }_1\right)=\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i^2$$
我们的任务是找到使 $J\left({\beta }_0,{\beta }_1\right)$ 最小的 ${\beta }_0$ 和 ${\beta }_1$ 的值！不涉及数学细节，我们在这里展示结果：
$$\begin{array}{c}{\beta }_1=\frac{S{S}_{xy}}{S{S}_{x:x}}\\ {\beta }_0=\bar{y}-{\beta }_1\bar{x}\end{array}$$
其中 $S{S}_{xy}$ 是 y 和 x 的交叉偏差之和：
$$S{S}_{xy}=\sum _{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=\sum _{i=1}^n{y}_i{x}_i-n\bar{x}\bar{y}$$
$S{S}_{xx}$ 是 x 的偏差平方和：
$$S{S}_{xx}=\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n(\bar{x}{)}^2$$
我们可以使用Python语言来学习线性回归模型的系数。为了绘制输入数据和最佳拟合线，我们将使用 matplotlib 库。它是最常用的用于绘制图表的 Python 库之一。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef estimate_coef(x, y):# number of observations/pointsn = np.size(x)# mean of x and y vectorm_x = np.mean(x)m_y = np.mean(y)# calculating cross-deviation and deviation about xSS_xy = np.sum(y*x) - n*m_y*m_xSS_xx = np.sum(x*x) - n*m_x*m_x# calculating regression coefficientsb_1 = SS_xy / SS_xxb_0 = m_y - b_1*m_xreturn (b_0, b_1)def plot_regression_line(x, y, b):# plotting the actual points as scatter plotplt.scatter(x, y, color = "m",marker = "o", s = 30)# predicted response vectory_pred = b[0] + b[1]*x# plotting the regression lineplt.plot(x, y_pred, color = "g")# putting labelsplt.xlabel('x')plt.ylabel('y')# function to show plotplt.show()def main():# observations / datax = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])y = np.array([1, 3, 2, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 12])# estimating coefficientsb = estimate_coef(x, y)print("Estimated coefficients:\nb_0 = {} \\nb_1 = {}".format(b[0], b[1]))# plotting regression lineplot_regression_line(x, y, b)if __name__ == "__main__":main()

输出：

Estimated coefficients:
b_0 = -0.0586206896552
b_1 = 1.45747126437

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