算法通关村第十三关|黄金挑战|数论问题

1.辗转相除法（欧几里得算法）

假如 8 和 12 的最大公因数是 4 ，就记作 gcd(8,12)=4.

辗转相除法重要规则：若 r 是 a÷b 的余数，则 gcd(a,b)=gcd(b,r) 。

基于该规则的代码实现：

int gcd(int a, int b) {int k = 0;do {k = a % b;a = b;b = k;} while (k != 0);return a;
}

2.素数和合数

验证是否为素数：从 2 到 n^(1/2) 遍历，如果取余得 0 就不是素数。

扩展题：力扣204 计数质数

public int countPrimes(int n) {int cnt = 0;for (int i = 2; i < n; i++) {if (isPrime(i)) {cnt++;}}return cnt;
}
public boolean isPrime(int num) {int max = (int)Math.sqrt(num);for (int i = 2; i <= max; i++) {if (num % i == 0) {return false;}}return true;
}

这个方法没有错，但是计算比较大得 n 的时候性能不够。在力扣上提交会超时。

3.埃氏筛

可以用埃氏筛解决上面题目的性能问题。

基本思想：如果 x 是质数，那么 x 的倍数一定不是质数。

解题思路：选中 2 ，将 2 的倍数全部排除，然后选中 3 ，将 3 的倍数全部排除，以此类推。当然，被排除的数就不用再被选中了。

public int countPrimes(int n) {int[] isPrime = new int[n];Arrays.fill(isPrime, 1);int ans = 0;for (int i = 2; i < n; i++) {if (isPrime[i] == 1) {ans += 1;if ((long) i * i < n) {for (int j = i * i; j < n; j += i) {isPrime[j] = 0;}}}}return ans;
}

这种解法节省了大量执行时间，但是也占用了相当的空间。

4.丑数问题

4.1 判断是否为丑数

只包含质因子 2 ， 3 ， 5 的数称作丑数。

public boolean isUgly(int n) {if (n < 0) {return false;}int[] factors = {2, 3, 5};for (int factor : factors) {while (n % factor == 0) {n /= factor;}}return n == 1;
}