LeetCode第373场周赛

循环移位后的矩阵相似检查

循环移位后的矩阵相似检查
分析：
简单模拟
这道题目就是一个简单的模拟题，直接按照题目意思进行判断即可。不难发现，其实左移，右移后如果初始矩阵和最终矩阵完全相同，那么左移，右移是等价的，比如对于下标为j的数，右移后相等即$mat[i][j]==mat[i][j+k]$，对于下标为j+k的数，左移后相等即$mat[i][j+k]==mat[i][j]$。所以二者等价。

代码：

class Solution {
public:bool areSimilar(vector<vector<int>>& mat, int k) {bool flag = true;int n =  mat.size(), m =  mat[0].size();k %= m;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){int v = (j + k) % m;if(mat[i][v] == mat[i][j])continue;flag = false;}}return flag;}
};

时间复杂度:$O(n)$
空间复杂度:$O(1)$

统计美丽子字符串 I

统计美丽子字符串 I
分析：
维护前缀和
对于这个题目，因为数据范围较小，所以可以使用$O(n^2)$的算法。如果直接暴力枚举每一个子字符串，再来判断是否是美丽子字符串的话，时间复杂度为$O(n^3)$，那么我们可以在判断是否是美丽子字符串上来优化。
如何判断一个字符串是美丽的呢？我们可以提前维护一个前缀的元音，辅音字母的数量，那么可以在$O(1)$的时间复杂度下，得到一个区间的元音，辅音数量，再按照题目意思进行判断即可

代码：

class Solution {
public:int beautifulSubstrings(string s, int k) {int n = s.size();//预处理一个前缀的元音，辅音数量vector<int>pre1(n + 1, 0), pre2(n + 1, 0);for(int i = 0; i < n ; i++){if(s[i] == 'a' || s[i] == 'e' || s[i] == 'i' || s[i] == 'o' || s[i] == 'u')pre1[i + 1] = pre1[i] + 1, pre2[i + 1] = pre2[i];else pre2[i + 1] = pre2[i] + 1, pre1[i + 1] = pre1[i];}int cnt = 0;for(int l = 0; l < n ; l++){for(int r = l + 1; r < n; r ++){int a = pre1[r + 1] - pre1[l];int b = pre2[r + 1] - pre2[l];if(a == b && (a * b) % k == 0)cnt++;}}return cnt;}
};

时间复杂度:$O(n^2)$
空间复杂度:$O(n^2)$

交换得到字典序最小的数组

交换得到字典序最小的数组
分析：
排序+分组维护
分析题意我们可以知道，对于两两之间距离在limit范围内的两个数，我们将它们添加进一个组里面，最终可以得到若干两两相距在limit范围内的数。比如$limit=2$，对数组$[1,5,3,9,8]$，$[1,3,5]$，$[8,9]$分别为一组。这样的每一组里面的所有数字，都是可以任意交换位置的(不能直接交换的数也可以间接的交换)。所以本题，我们的目的就是要得到若干个这样的组，对每个组里面按照从小到大的顺序排序，就是最终的结果。
具体要怎么做呢？
首先我们可以维护一个$q$数组，它代表的是$nums$数组的值，从小到大排序后，原来的下标的序列。
然后我们遍历这个序列，每一次处理一段数字，这一段数字要求满足相邻两个数之间的距离$\le limit$。
比如对于数组$[1,7,6,18,2,1]$，其$q$数组为$[0,5,4,2,1,3]$。处理的第一段数字为$[0,5,4]$，即下标为0，5，4的三个数。那么对这三个数，直接按照从小到大的顺序放在0,4,5的三个位置即可。因为只有这一段数字里面的位置可以任意交换。可以用set来存下来这几个下标，存入后是按照顺序排列的，然后直接放入这几个数字即可。

代码：

class Solution {
public:vector<int> lexicographicallySmallestArray(vector<int>& nums, int limit) {//在limit范围内，可以构成多个闭环，每一个闭环按照顺序排序即可int n = nums.size();vector<int>q(n);iota(q.begin(), q.end(), 0);sort(q.begin(), q.end(),[&](int i, int j){return nums[i] < nums[j] ;});//处理每一个limit范围vector<int>ans(n);for(int l = 0; l < n; ){int r = l + 1;set<int>p;p.insert(q[l]);while(r < n && nums[q[r]] - nums[q[r - 1]] <= limit){p.insert(q[r]);r++;}// cout<<l<<" "<<r<<endl;//l~r是一个limit范围内的一些数字，这里面的数字可以随意交换位置auto it = p.begin();for(int i = l; i < r; i++, it++)ans[*it] = nums[q[i]];l = r;}return ans;}
};

时间复杂度:$O(n\log n)$
空间复杂度:$O(n)$

统计美丽子字符串 II

统计美丽子字符串 II

分析：
前缀和+分解质因数+哈希表
这道题是I的加强版，数据范围变大了，所以在I中使用的前缀和的$O(n^2)$算法不适用了。
那么我们要考虑更加快速的方法。
前缀和
首先我们换一种维护前缀和的思路，不妨令元音为1，辅音为-1。则元音字母和辅音字母的数量相等即找到一个和为0的连续子数组。
则任何一个满足条件的子数组$(j,i]$中，有$sum[i]-sum[j]=0$。
分解质因数
设子数组的长度为L，由于元音辅音数量相等，所以元音辅音数量都等于$\frac{L}{2}$ ，所以元音字母和辅音字母的数量的乘积能被k整除等价于
$$(\frac{L}{2}{)}^{2}modk=0$$
即
$$L^{2}mod(4k)=0$$
再来考虑，如果$L^{2}mod{k}^{\prime }=0$时，$L$满足什么条件呢？
假设$k’$是一个质数，假如是$3$，那么$L$只要满足是$3$的倍数就行了，此时平方被我们去掉了。
如果$k^{\prime }$是一个指数$p$的$v$次幂呢？

• 如果v是偶数，比如$3^4$，那么L只要是$3^2$的倍数就行了；
• 如果v是奇数，比如$3^5$，那么L只要是$3^3$的倍数就行了。

综上，L中至少要包含$p^r$，其中$r=\lceil \frac{e}{2}\rceil$
如果$k^{\prime }$中包含多个质因数，则对每个质因数都按照上述方法求解即可，这样我们就可以得到$L$至少是一个数的倍数的条件了，去掉了平方。
哈希表
在得到了上面的条件后，$L$必须是$k^{\prime }$的倍数，那么会有什么情况出现呢？
现在的问题是，有多少个和为0的子数组，其长度是k’的倍数。
对于一个子数组下标为$(j,i]$，长度$L=i-j$，若满足上述条件，有
$$(i-j)mod{k}^{\prime }=0$$
则有
$$imod{k}^{\prime }=jmod{k}^{\prime }$$
对前缀和来说，则有
$$sum[i]-sum[j]=0$$
即
$$sum[i]=sum[j]$$
当我们同时满足$imod{k}^{\prime }=jmod{k}^{\prime }$和$sum[i]=sum[j]$的条件时，则这个子数组是美丽子数组，那么我们可以一起用哈希表维护这两个值。
哈希表的key就是一个pair:$imod{k}^{\prime }$和$sum[i]$，哈希表的 value 是这个 pair 的出现次数。
注意：在最一开始需要加入一个pair:$k‘-1,0$，因为我们的前缀维护时，下标为$0$时，计算的是第二个前缀和，第一个前缀和(就是什么都没有的时候，和为$0$)。相当于在下标为$-1$的时候计算，$-1$和$k’-1$同余，则最开始加入其中。
代码：

class Solution {
public:int get_base(int k){//分解质因子int ans = 1;for(int i = 2; i * i <= k; i++){int cnt = 0;while(k % i == 0){cnt++;k /= i;}ans *= pow(i, (cnt + 1)/ 2);}if(k > 1)ans *= k;return ans;}long long beautifulSubstrings(string s, int k) {//根据条件(L/2)^2 % k == 0 即 L^2 %(4k) == 0 先判断L要满足什么样的条件k = get_base(4 * k);map<pair<int, int>, int>cnt;int n = s.size();long long ans = 0;int sum = 0;//计算前缀 sum[-1] = 0 下标-1就是表示没有数字的时候的前缀和int flag = 1 | (1 << ('e' - 'a')) | (1 << ('i' - 'a')) | (1 << ('o' - 'a')) | (1 << ('u' - 'a'));cnt[{k - 1, 0}]++; //加入和-1同余的k-1，-1下标相当于前缀和数组中什么都没有的情况，此时前缀和为0for(int i = 0; i < n; i++){sum += ((1 << (s[i] - 'a')) & flag) > 0 ? 1 : -1;ans += cnt[{i % k, sum}]++;}return ans;}
};

时间复杂度:$O(n+\sqrt{k})$
空间复杂度:$O(n)$