复数的几何意义

1、复平面,复数的其它表示法

(1)几何表示法

z=x+iy \Leftrightarrow (x,y) 

直角平面坐标:

xoy\rightarrow 复平面

x\rightarrow实轴,y\rightarrow虚轴

(2)向量表示法

z=x+iy\Leftrightarrow向量\vec{op}

模:\left | z \right |=\vec{op}{\rightarrow}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

复数加减法可用向量的三角形法则或者平行四边形法则

(3)结论

\left | z \right |=\left | \bar{z} \right |,z\bar{z}=\left | z \right |^{2}=\left | \bar{z} \right |^{2}

\left | x \right |\leq \left | z \right |,\left | y \right |\leq \left | z \right |

\left |z _{1} +z _{2}\right|\leq \left | \left | z_{1} \right | +\left |z _{2} \right |\right |(两边之和大于第三边)

\left |z _{1} -z _{2}\right |\geq \left | \left |z _{1} \right | -\left |z _{2} \right |\right |((两边之差大于第三边))

*辐角:向量\vec{op}和实轴正向的夹角称为z=x+iy的辐角,记作\theta =Argz(有无穷多个,相差2k\pi )

* tan(Argz)=\frac{y}{x}

*辐角主值:\theta _{0}=argz-\pi < \theta _{0}< \pi)\Rightarrow argz+2k\pi

*z=0时,\left | z \right |=0,辅角不确定 

1x>0y=0实轴正向argz=0
2x>0y>0第一象限argz=arctan\frac{y}{x}
3x=0y>0虚轴正向argz=\frac{\pi}{2}
4x<0y>0第二象限argz=\pi+arctan\frac{y}{x}
5x<0y=0实轴负向argz=\pi
6x=0y<0第三象限argz=arctan\frac{y}{x}-\pi
7x=0y<0虚轴负向argz=-\frac{\pi}{2}
8x>0y<0第四象限argz=arctan\frac{y}{x}
(4)三角表示法

*\left | z \right |=r,Arg=\theta ,z=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)

*欧拉公式

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots

\begin{aligned}e^{i\theta}&=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)}{3!}+\cdots\Longrightarrow(1-\frac1{2!}\theta^2+\frac1{4!}\theta^4+\cdots)+i(\theta-\frac1{3!}\theta^3\\&+\frac1{5!}\theta^5+\cdots)\\&=\cos\theta+i\sin\theta\end{aligned}

*指数表示法

z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=re^{i\theta}

例题

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