平面PH曲线的构造及其相应性质

过渡曲线常需要满足在连接点处位置连续、曲率连续以及切线方向向量连续的三个条件。关于过渡曲线的构造，前文已经总结了Béizer曲线和多项式曲线，本文主要对PH曲线构造的相关问题进行分析总结。

PH曲线理论

定义：若平面n次贝塞尔曲线P(t)=(x(t),y(t))的速端曲线具有PH性质，则称它为n次PH曲线。即存在多项式σ(t)，使得 $$x^{{}^{\prime }2}+y^{{}^{\prime }2}={\sigma }^2(t)$$ 则称多项式P(t)为n次PH曲线。

贝塞尔曲线方程表达形式为：$$P(t)=\sum _{j=0}^n{p}_j{B}_j^n(t),0\le t\le 1$$其中伯恩斯坦基函数的形式为：
$$B_j^n(t)=C_n^j(1-t{)}^{n-j}{t}^j,0\le t\le 1$$

关于贝塞尔曲线的求导，参考知乎上的一篇文章，我在文末会放上参考网址。
贝塞尔曲线在 t 处的一阶导数为：
$$C^{{}^{\prime }}(t)=\sum _{i=0}^{n-1}{p}_i^{(1)}{B}_{i,n-1}(t)$$ $$p_i^{(1)}=n(p_{i+1}-p_i)$$

三次PH曲线的构造及性质

设三次Bezier曲线为
$$P(t)=\sum _{j=0}^3{P}_j{B}_j^3(t),0\le t\le 1$$
（1）x’(t)和y’(t)的形式验证

为确保P(t)为一个PH曲线，定义x‘(t)和y’(t)的形式如下：
$$x^{{}^{\prime }}(t)=w(t)[u^2(t)-v^2(t)]$$ $$y^{{}^{\prime }}=2w(t)u(t)v(t)$$
其中，w(t)=1
$$u(t)=u_0{b}_0^1(t)+u_1{b}_1^1(t)$$ $$v(t)=v_0{b}_0^1(t)+v_1{b}_1^1(t)$$
代入Bernstein系数，因此有，

因此验证得：$$x^{{}^{\prime }}(t)=[u^2(t)-v^2(t)]，y^{{}^{\prime }}=2u(t)v(t)$$
（2）控制顶点关系验证
由贝塞尔曲线的一阶导数公式有，
$$x^{{}^{\prime }}(t)=3(p_{1x}-p_{0x})b_0^2(t)+3(p_{2x}-p_{1x})b_1^2(t)+3(p_{3x}-p_{2x})b_2^2(t)$$ $$y^{{}^{\prime }}(t)=3(p_{1y}-p_{0y})b_0^2(t)+3(p_{2y}-p_{1y})b_1^2(t)+3(p_{3y}-p_{2y})b_2^2(t)$$
因此，联立两式有，
$$p_{1x}-p_{0x}=\frac{1}{3}(u_0^2-v_0^2),p_{2x}-p_{1x}=\frac{1}{3}(u_0{u}_1-v_0{v}_1),p_{3x}-p_{2x}=\frac{1}{3}(u_1^2-v_1^2)$$ $$p_{1y}-p_{0y}=\frac{1}{3}(2u_0{v}_0),p_{2y}-p_{1y}=\frac{1}{3}(u_0{v}_1+u_1{v}_0),p_{3y}-p_{2y}=\frac{1}{3}(2u_1{v}_1)$$
因此，控制顶点满足的关系整理如下：

（3）验证三次贝塞尔曲线称为PH曲线的充要条件是：
$$L_2=\sqrt{L_1{L}_3}，且{\theta }_1={\theta }_2$$
其中几何边和角的位置分布如图所示：

定义d01表示p0和p1的距离，d12表示p1和p2的距离，d23表示p2和p3的距离。因此有：

因此可验证得到，$$L_2=\sqrt{L_1{L}_3}$$
接下来就是证明$${\theta }_1={\theta }_2$$






（4）三次PH曲线的参数速率表示为：
$$\sigma (t)=\sum _{i=0}^2{\sigma }_i{B}_i^2(t)$$
由弧长的定义$$S(t)={\int }_0^t\sigma (\tau )d\tau$$
$$S(t)=\sum _{i=0}^3{S}_i{B}_i^3(t),0\le t\le 1$$
其中，$$S_0=0,S_i=\frac{1}{3}\sum _0^{i-1}{\sigma }_j,i=1,2,3$$
三次PH曲线的全弧长为：
$$S=S(1)=\frac{1}{3}\sum _0^2{\sigma }_i$$

四次PH曲线的构造及性质

令平面四次PH曲线$$P(t)=\sum _{t=0}^4{p}_t{B}_t^4(t),0\le t\le 1$$为了使P(t)为PH曲线，则作如下假设：

其中，

代入公式计算有，




四次PH曲线的性质：

五次PH曲线的构造及性质

五次PH曲线有两种：非尖点五次PH曲线和尖点五次PH曲线。

非尖点五次PH曲线

尖点五次PH曲线

参考文献

以上内容主要参考以下文献。
[1]: 知乎：贝塞尔曲线的求导https://zhuanlan.zhihu.com/p/130247362
[2]: Pythagorean hodographs
[3]: 一类五次PH曲线Hermite插值的几何方法
[4]: PH曲线的研究及其应用
[5]: PH曲线的构造及相关问题研究
[6]:基于PH曲线的Delta机器人轨迹规划方法
[7]: 基于PH曲线的无人机路径规划算法