文章目录
- abstract
- 对弧长的曲线积分
- 曲线形构件的质量
- 第一类曲线积分
- 曲线积分存在性
- 利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题
- 推广
- 曲线积分可加性
- 闭曲线积分
- 曲线积分性质
- 曲线积分的计算方法
- 证明(部分推导)
- 小结
- 曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式
- 推广
- 例
- 例
- 例
abstract
- 在积分学中,积分范围先是从数轴上(直线)的一个区间的情形,推广到平面或看空间内的一个闭区域的情形
- 不仅如此,积分概念可以推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形,分别称为曲线积分和曲面积分
对弧长的曲线积分
曲线形构件的质量
- 对弧长的曲线积分源自某些问题的研究,其中最经典的一个问题模型是曲线形构建的质量问题
- 在讨论定积分和二重积分时,分别对应曲边梯形面积问题和曲顶柱体的体积问题
- 而理解曲线积分时,用类似理解定积分时的几何的角度就不容易,也不太合适,而从物理意义角度就比较合适
- 通过对这个问题问题模型的抽象,定义出弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
第一类曲线积分
- 定义:设 L L L为 x O y xOy xOy面内的一条光滑曲线弧,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 L L L上有界,在 L L L上任意插入一系列点 M 1 , ⋯ , M n − 1 M_1,\cdots,M_{n-1} M1,⋯,Mn−1,把 L L L分成 n n n个小段
- 设第 i i i小段的长度为 Δ s i \Delta{s_i} Δsi,又 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)为第 i i i个小段上任意取定的,作乘积 f ( ξ i , η i ) Δ s i f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} f(ξi,ηi)Δsi
(0)
, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n),并作和式 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} ∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi(1)
- 若当各个小弧段的长度的最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0时,式(1)的极限总存在,切曲线弧 L L L的分法以及点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)的取法无关,则称此极限为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记为 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds,即 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi
(3)
- 其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为被积函数, L L L称为积分弧段(积分弧段类似于定积分的积分区间或重积分的积分区域)
- 而弧段元素 Δ s i \Delta{s_i} Δsi或 d s \mathrm{d}s ds类似于定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx中的区间元素 d x \mathrm{d}x dx
- Note: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)和 L L L的方程是相对独立的,最简单的情形是
- f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为常数
- L L L为直线方程
曲线积分存在性
-
当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在光滑曲线弧 L L L上连续时,对弧长的曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds总是存在的
- 在讨论曲线积分时,我们总假定 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 L L L上是连续的
-
函数在曲线上连续表示?(TODO)
利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题
- 根据上述定义,曲线形构件的质量 m m m当线密度 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 L L L上连续时,就有等于 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)对弧长的曲线积分,即 m = ∫ L μ ( x , y ) d s m=\int_{L}\mu(x,y)\mathrm{d}s m=∫Lμ(x,y)ds
(4)
推广
- 上述曲线积分的定义是平面曲线积分,可以类似地推广到积分弧段为空间曲线 Γ \Gamma Γ的情形,即函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在曲线弧 Γ \Gamma Γ上对弧长的曲线积分 ∫ Γ f ( x , y , z ) d s \int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}s ∫Γf(x,y,z)ds= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ξ i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\xi_i)\Delta{s_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi,ξi)Δsi
(5)
- f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可以表示空间中坐标为 x , y , z x,y,z x,y,z的点处的密度(点附近小区域密度的代表值)
曲线积分可加性
- 若 L L L是分段光滑的(有限个点不光滑),则规定函数在 L L L上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和(空间曲线 Γ \Gamma Γ也类似)
- 例如设 L L L可分成两段光滑曲线弧 L 1 L_1 L1以及 L 2 L_2 L2,记为 L = L 1 + L 2 L=L_1+L_2 L=L1+L2),就规定 ∫ L 1 + L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_1+L_2}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L1+L2f(x,y)ds= ∫ L 1 f ( x , y ) d s \int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L1f(x,y)ds+ ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L2f(x,y)ds
(6)
闭曲线积分
- 若 L L L是闭曲线,则函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在闭曲线 L L L上对弧长的曲线积分记为 ∮ f ( x , y ) d s \oint{f(x,y)\mathrm{d}s} ∮f(x,y)ds
曲线积分性质
- 由对弧长的曲线积分的定义可知,其具有如下性质(这些性质和定积分类似)
- 线性性
- ∫ L [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d s \int_{L}[\alpha f(x,y)+\beta{g(x,y)}]\mathrm{d}s ∫L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds= α ∫ L f ( x , y ) d s \alpha\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s α∫Lf(x,y)ds+ β ∫ L g ( x , y ) d s \beta\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s β∫Lg(x,y)ds
(7)
- ∫ L [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d s \int_{L}[\alpha f(x,y)+\beta{g(x,y)}]\mathrm{d}s ∫L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds= α ∫ L f ( x , y ) d s \alpha\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s α∫Lf(x,y)ds+ β ∫ L g ( x , y ) d s \beta\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s β∫Lg(x,y)ds
- 可加性
- 若积分弧段 L L L可分为两段光滑曲线弧 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2,则
- ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ L 1 f ( x , y ) d s \int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L1f(x,y)ds+ ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L2f(x,y)ds
(8)
- 设 L L L上 f ( x , y ) ⩽ g ( x , y ) f(x,y)\leqslant{g(x,y)} f(x,y)⩽g(x,y),则
- ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L g ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s} ∫Lf(x,y)ds⩽∫Lg(x,y)ds
(9)
- ∣ ∫ L f ( x , y ) d s ∣ ⩽ ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s |\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s| \leqslant{\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s} ∣∫Lf(x,y)ds∣⩽∫L∣f(x,y)∣ds
(10)
- 因为 − ∣ f ( x , y ) ∣ ⩽ f ( x , y ) ⩽ ∣ f ( x , y ) ∣ -|f(x,y)|\leqslant{f(x,y)}\leqslant{|f(x,y)|} −∣f(x,y)∣⩽f(x,y)⩽∣f(x,y)∣
- − ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s ⩽ ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s -\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s\leqslant\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s} −∫L∣f(x,y)∣ds⩽∫Lf(x,y)ds⩽∫L∣f(x,y)∣ds
- 改写成绝对值不等式即得证不等式
- ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L g ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s} ∫Lf(x,y)ds⩽∫Lg(x,y)ds
曲线积分的计算方法
- 定理:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上有定义且连续**, L L L的参数方程**为 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t); y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t∈[α,β]
- 若 ϕ ( t ) , ψ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有一阶连续导数,且 ϕ ′ 2 + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \phi'^2+\psi'^2(t)\neq{0} ϕ′2+ψ′2(t)=0,则曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds存在,且 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt, ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)
(11)
- 若 ϕ ( t ) , ψ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有一阶连续导数,且 ϕ ′ 2 + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \phi'^2+\psi'^2(t)\neq{0} ϕ′2+ψ′2(t)=0,则曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds存在,且 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt, ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)
证明(部分推导)
-
利用弧长公式,我们可以将第一类曲线积分化为定积分计算
- 弧长公式我们在定积分的应用中讨论过, s s s= ∫ α β ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm{d}t ∫αβϕ′2(t)+ψ′2(t)dt
(12)
- 令 r ( t ) = ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) r(t)=\sqrt{\phi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)} r(t)=ϕ′2(t)+ψ′2(t)
(12-1)
- 弧长公式我们在定积分的应用中讨论过, s s s= ∫ α β ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm{d}t ∫αβϕ′2(t)+ψ′2(t)dt
-
假定当参数 t t t由 α \alpha α变至 β \beta β时,曲线弧 L L L上的点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)依点 A A A运动至 B B B,该过程描出曲线弧 L L L
-
在 L L L上取一列点: A = M 0 , M 1 , ⋯ , M n = B A=M_0,M_1,\cdots,M_{n}=B A=M0,M1,⋯,Mn=B
-
设它们对应于一列单调增加的参数值 α = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = β \alpha=t_0<t_1<\cdots<t_{n}=\beta α=t0<t1<⋯<tn=β(这表明 ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β))
-
根据对弧长的曲线积分的定义: ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi(即式(3))
- 设点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)对应于参数值 τ i \tau_{i} τi,即 ξ i = ϕ ( τ i ) \xi_{i}=\phi(\tau_i) ξi=ϕ(τi), η i = ϕ ( τ i ) \eta_{i}=\phi(\tau_i) ηi=ϕ(τi)
(13)
,这里 τ i ∈ [ t i − 1 , t i ] \tau_{i}\in[t_{i-1},t_{i}] τi∈[ti−1,ti], - 记 t i − 1 → t i t_{i-1}\to{t_{i}} ti−1→ti在 L L L上对应的弧长为 Δ s i \Delta{s}_{i} Δsi,使用弧长公式(12),有 Δ s i \Delta{s_{i}} Δsi= ∫ t i − 1 t i ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm{d}t ∫ti−1tiϕ′2(t)+ψ′2(t)dt
(14)
- 由积分中值定理: Δ s i \Delta{s}_{i} Δsi= ϕ ′ 2 ( τ i ′ ) + ψ ′ 2 ( τ i ′ ) ⋅ Δ t i \sqrt{\phi'^2(\tau_{i}')+\psi'^2(\tau_{i}')}\cdot {\Delta{t_{i}}} ϕ′2(τi′)+ψ′2(τi′)⋅Δti
(15)
;其中 Δ t i \Delta{t_{i}} Δti= t i − t i − 1 t_{i}-t_{i-1} ti−ti−1, τ i ′ ∈ [ t i − 1 , t i ] \tau_{i}'\in[t_{i-1},t_{i}] τi′∈[ti−1,ti]于是 - Note:这里 τ i , τ i ′ \tau_i,\tau_i' τi,τi′有联系(都是 [ t i − 1 , t i ] [t_{i-1},t_{i}] [ti−1,ti]区间上的点),但并不相同
- 将式(13),(15)代入到式(3),于是 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f [ ϕ ( τ i ) , ψ ( τ i ) ] ϕ ′ 2 ( τ i ′ ) + ψ ′ 2 ( τ i ′ ) Δ t i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f[\phi(\tau_{i}),\psi(\tau_{i})]\sqrt{\phi'^{2}(\tau_{i}')+\psi'^{2}(\tau_{i}')}\Delta{t_{i}} λ→0lim∑i=1nf[ϕ(τi),ψ(τi)]ϕ′2(τi′)+ψ′2(τi′)Δti
(16)
- 由于函数(12-1)在闭区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,可以把上式中 r i ′ r_{i}' ri′替换为 r i r_{i} ri,从而式(16)写作式(11)
- 这一步要用到(12-1)函数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的一致连续性
- 设点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)对应于参数值 τ i \tau_{i} τi,即 ξ i = ϕ ( τ i ) \xi_{i}=\phi(\tau_i) ξi=ϕ(τi), η i = ϕ ( τ i ) \eta_{i}=\phi(\tau_i) ηi=ϕ(τi)
-
式(11)等号右端是一个定积分式子,因为其被积函数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,所以这个定积分是存在的,因此式(11)等号左端 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds也存在;并且可以有式(11)计算结果
小结
- 公式(11)表明,计算对弧长的曲线积分 f L f ( x , y ) d s f_{L}f(x,y)\mathrm{d}s fLf(x,y)ds时,只要将 x , y , d s x,y,\mathrm{d}s x,y,ds分别替换为: ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ϕ ′ 2 t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \phi(t),\psi(t),\sqrt{\phi'^2{t)+\psi'^2(t)}}\mathrm{d}t ϕ(t),ψ(t),ϕ′2t)+ψ′2(t)dt
- 然后做 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的定积分即可 ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)
曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式
- 若曲线弧 L L L由方程 y = ψ ( x ) y=\psi(x) y=ψ(x)
(17)
, ( x ∈ [ x 0 , X ] ) (x\in[x_0,X]) (x∈[x0,X])给出,则可以把这种情况看作特殊的参数方程:(参数方程的简单情形)- x = t x=t x=t, y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), t ∈ [ x 0 , X ] t\in[x_{0},X] t∈[x0,X]
(17-1)
- x = t x=t x=t, y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), t ∈ [ x 0 , X ] t\in[x_{0},X] t∈[x0,X]
- 将其代入公式(11),得 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ x 0 X f ( x , ψ ( x ) ) 1 + ψ ′ 2 ( x ) d x \int_{x_0}^{X}f(x,\psi(x)) \sqrt{1+\psi'^{2}(x)}\mathrm{d}x ∫x0Xf(x,ψ(x))1+ψ′2(x)dx, ( x 0 < X ) (x_0<X) (x0<X)
(18)
- 类似地,若曲线弧 L L L由方程 x = ϕ ( y ) x=\phi(y) x=ϕ(y)
(19)
, ( y ∈ [ y 0 , Y ] ) (y\in[y_0,Y]) (y∈[y0,Y])给出- y = t y=t y=t, x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)
(19-1)
, ( y ∈ [ y 0 , Y ] ) (y\in[y_0,Y]) (y∈[y0,Y])
- y = t y=t y=t, x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)
- 则 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ y 0 Y f ( ϕ ( y ) , y ) 1 + ϕ ′ 2 ( y ) d y \int_{y_0}^{Y}f(\phi(y),y) \sqrt{1+\phi'^{2}(y)}\mathrm{d}y ∫y0Yf(ϕ(y),y)1+ϕ′2(y)dy, y 0 < Y y_{0}<Y y0<Y
(20)
推广
- 若空间曲线 Γ \Gamma Γ由参数方程 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t), y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), z = ω t z=\omega{t} z=ωt, t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t∈[α,β]给出的情形,这时 f L f ( x , y , z ) d s f_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s fLf(x,y,z)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) + ω ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)+\omega'^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t),ω(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)+ω′2(t)dt ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)
例
- 计算 ∫ L y d s \int_{L}\sqrt{y}\mathrm{d}s ∫Lyds其中 L L L时抛物线 y = x 2 y=x^2 y=x2上点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)与 B ( 1 , 1 ) B(1,1) B(1,1)之间的一段弧
- 曲线 L L L表示为 x x x为参数的参数方程: y = x 2 y=x^2 y=x2, x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1]
- ∫ L y d s \int_{L}\sqrt{y}\mathrm{d}s ∫Lyds= ∫ 0 1 x 2 1 + ( x 2 ) ′ 2 d x \int_{0}^{1}\sqrt{x^2}\sqrt{1+(x^2)'^2}\mathrm{d}x ∫01x21+(x2)′2dx= ∫ 0 1 x 1 + 4 x 2 d x \int_{0}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x ∫01x1+4x2dx
- 第一换元法: 1 2 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 d x 2 \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x^2 21∫011+4x2dx2= 1 8 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 d ( 4 x 2 + 1 ) \frac{1}{8}\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}(4x^2+1) 81∫011+4x2d(4x2+1)= 1 8 2 3 ( 1 + 4 x 2 ) 3 2 ∣ 0 1 \frac{1}{8}\frac{2}{3}(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} 8132(1+4x2)23∣01= 1 12 [ ( 1 + 4 ) 3 2 − 1 ] \frac{1}{12}[(1+4)^{\frac{3}{2}}-1] 121[(1+4)23−1]= 1 12 ( 5 5 − 1 ) \frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) 121(55−1)
例
-
若 L L L: x = R cos θ x=R\cos\theta x=Rcosθ, y = R sin θ y=R\sin\theta y=Rsinθ, θ ∈ [ − α , α ] \theta\in[-\alpha,\alpha] θ∈[−α,α]
-
I I I= ∫ L y 2 d s \int_{L}y^2\mathrm{d}s ∫Ly2ds= ∫ − α α R 2 sin 2 θ ( − R sin θ ) 2 + ( R cos θ ) 2 d θ \int_{-\alpha}^{\alpha}R^2\sin^2\theta\sqrt{(-R\sin\theta)^2+(R\cos\theta)^2}\mathrm{d}\theta ∫−ααR2sin2θ(−Rsinθ)2+(Rcosθ)2dθ
- = R 3 ∫ − a a sin 2 θ d θ R^3\int_{-a}^{a}\sin^2\theta\mathrm{d}\theta R3∫−aasin2θdθ= R 3 2 [ θ − sin 2 θ 2 ] − α α \frac{R^3}{2}[\theta-\frac{\sin 2\theta}{2}]_{-\alpha}^{\alpha} 2R3[θ−2sin2θ]−αα= R 3 2 ( 2 α − sin 2 α ) \frac{R^3}{2}(2\alpha-\sin2\alpha) 2R3(2α−sin2α)= R 3 ( α − sin α cos α ) R^3(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) R3(α−sinαcosα)
例
- 若 L L L: x = a cos t x=a\cos{t} x=acost, y = a sin t y=a\sin{t} y=asint, z = k t z=kt z=kt, t ∈ [ 0 , 2 π ] t\in[0,2\pi] t∈[0,2π],求 I I I= ∫ Γ ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s \int_{\Gamma}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s ∫Γ(x2+y2+z2)ds
- I I I= ∫ Γ ( a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t + k 2 t 2 ) ( − a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 + k 2 d t \int_{\Gamma}(a^2\cos^2{t}+a^2\sin^2t+k^2t^2)\sqrt{(-a\sin{t})^2+(a\cos{t})^2+k^2}\mathrm{d}t ∫Γ(a2cos2t+a2sin2t+k2t2)(−asint)2+(acost)2+k2dt
- = ∫ 0 2 π ( a 2 + k 2 t 2 ) a 2 + k 2 d t \int_{0}^{2\pi}(a^2+k^2t^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t ∫02π(a2+k2t2)a2+k2dt= a 2 + k 2 [ a 2 t + k 2 3 t 3 ] 0 2 π \sqrt{a^2+k^2}[a^2t+\frac{k^2}{3}t^3]_{0}^{2\pi} a2+k2[a2t+3k2t3]02π
- 提取与 t t t无关的因式 a 2 + k 2 \sqrt{a^2+k^2} a2+k2到积分号前
- = a 2 + k 2 [ 2 a 2 π + 8 3 k 2 π 2 ] \sqrt{a^2+k^2}[2a^2\pi+\frac{8}{3}k^2\pi^2] a2+k2[2a2π+38k2π2]
- = 2 π 3 a 2 + k 2 ( 3 a 2 + 4 π 2 k 2 ) \frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2) 32πa2+k2(3a2+4π2k2)