第一类曲线积分@对弧长的曲线积分

文章目录

    • abstract
    • 对弧长的曲线积分
      • 曲线形构件的质量
      • 第一类曲线积分
      • 曲线积分存在性
      • 利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题
      • 推广
      • 曲线积分可加性
      • 闭曲线积分
    • 曲线积分性质
      • 曲线积分的计算方法
        • 证明(部分推导)
      • 小结
      • 曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式
      • 推广

abstract

  • 在积分学中,积分范围先是从数轴上(直线)的一个区间的情形,推广到平面或看空间内的一个闭区域的情形
  • 不仅如此,积分概念可以推广到积分范围为一段曲线弧一片曲面的情形,分别称为曲线积分和曲面积分

对弧长的曲线积分

曲线形构件的质量

  • 对弧长的曲线积分源自某些问题的研究,其中最经典的一个问题模型是曲线形构建的质量问题
    • 在讨论定积分和二重积分时,分别对应曲边梯形面积问题和曲顶柱体的体积问题
    • 而理解曲线积分时,用类似理解定积分时的几何的角度就不容易,也不太合适,而从物理意义角度就比较合适
  • 通过对这个问题问题模型的抽象,定义出弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

第一类曲线积分

  • 定义:设 L L L x O y xOy xOy面内的一条光滑曲线弧,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) L L L上有界,在 L L L上任意插入一系列点 M 1 , ⋯ , M n − 1 M_1,\cdots,M_{n-1} M1,,Mn1,把 L L L分成 n n n个小段
  • 设第 i i i小段的长度为 Δ s i \Delta{s_i} Δsi,又 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)为第 i i i个小段上任意取定的,作乘积 f ( ξ i , η i ) Δ s i f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} f(ξi,ηi)Δsi(0), ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,,n),并作和式 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} i=1nf(ξi,ηi)Δsi(1)
  • 若当各个小弧段的长度的最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ0时,式(1)的极限总存在,切曲线弧 L L L的分法以及点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)的取法无关,则称此极限为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记为 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds,即 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} λ0limi=1nf(ξi,ηi)Δsi(3)
  • 其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为被积函数, L L L称为积分弧段(积分弧段类似于定积分的积分区间或重积分的积分区域)
    • 弧段元素 Δ s i \Delta{s_i} Δsi d s \mathrm{d}s ds类似于定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x abf(x)dx中的区间元素 d x \mathrm{d}x dx
  • Note: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) L L L的方程是相对独立的,最简单的情形是
    • f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为常数
    • L L L为直线方程

曲线积分存在性

  • f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在光滑曲线弧 L L L上连续时,对弧长的曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds总是存在的

    • 在讨论曲线积分时,我们总假定 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) L L L上是连续的
  • 函数在曲线上连续表示?(TODO)

利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题

  • 根据上述定义,曲线形构件的质量 m m m线密度 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y) L L L上连续时,就有等于 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)对弧长的曲线积分,即 m = ∫ L μ ( x , y ) d s m=\int_{L}\mu(x,y)\mathrm{d}s m=Lμ(x,y)ds(4)

推广

  • 上述曲线积分的定义是平面曲线积分,可以类似地推广到积分弧段为空间曲线 Γ \Gamma Γ的情形,即函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在曲线弧 Γ \Gamma Γ上对弧长的曲线积分 ∫ Γ f ( x , y , z ) d s \int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}s Γf(x,y,z)ds= lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ξ i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\xi_i)\Delta{s_i} λ0limi=1nf(ξi,ηi,ξi)Δsi(5)
    • f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可以表示空间中坐标为 x , y , z x,y,z x,y,z的点处的密度(点附近小区域密度的代表值)

曲线积分可加性

  • L L L是分段光滑的(有限个点不光滑),则规定函数在 L L L上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和(空间曲线 Γ \Gamma Γ也类似)
  • 例如设 L L L可分成两段光滑曲线弧 L 1 L_1 L1以及 L 2 L_2 L2,记为 L = L 1 + L 2 L=L_1+L_2 L=L1+L2),就规定 ∫ L 1 + L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_1+L_2}f(x,y)\mathrm{d}s L1+L2f(x,y)ds= ∫ L 1 f ( x , y ) d s \int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s L1f(x,y)ds+ ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s L2f(x,y)ds(6)

闭曲线积分

  • L L L是闭曲线,则函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在闭曲线 L L L上对弧长的曲线积分记为 ∮ f ( x , y ) d s \oint{f(x,y)\mathrm{d}s} f(x,y)ds

曲线积分性质

  • 由对弧长的曲线积分的定义可知,其具有如下性质(这些性质和定积分类似)
  • 线性性
    • ∫ L [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d s \int_{L}[\alpha f(x,y)+\beta{g(x,y)}]\mathrm{d}s L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds= α ∫ L f ( x , y ) d s \alpha\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s αLf(x,y)ds+ β ∫ L g ( x , y ) d s \beta\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s βLg(x,y)ds(7)
  • 可加性
    • 若积分弧段 L L L可分为两段光滑曲线弧 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2,则
    • ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= ∫ L 1 f ( x , y ) d s \int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s L1f(x,y)ds+ ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s L2f(x,y)ds(8)
  • L L L f ( x , y ) ⩽ g ( x , y ) f(x,y)\leqslant{g(x,y)} f(x,y)g(x,y),则
    • ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L g ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s} Lf(x,y)dsLg(x,y)ds(9)
    • ∣ ∫ L f ( x , y ) d s ∣ ⩽ ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s |\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s| \leqslant{\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s} Lf(x,y)dsLf(x,y)ds(10)
      • 因为 − ∣ f ( x , y ) ∣ ⩽ f ( x , y ) ⩽ ∣ f ( x , y ) ∣ -|f(x,y)|\leqslant{f(x,y)}\leqslant{|f(x,y)|} f(x,y)f(x,y)f(x,y)
      • − ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s ⩽ ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s -\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s\leqslant\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s} Lf(x,y)dsLf(x,y)dsLf(x,y)ds
      • 改写成绝对值不等式即得证不等式

曲线积分的计算方法

  • 定理:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上有定义且连续**, L L L的参数方程**为 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t); y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t[α,β]
    • ϕ ( t ) , ψ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t) [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有一阶连续导数,且 ϕ ′ 2 + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \phi'^2+\psi'^2(t)\neq{0} ϕ′2+ψ′2(t)=0,则曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds存在,且 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ2(t) dt, ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)(11)
证明(部分推导)
  • 利用弧长公式,我们可以将第一类曲线积分化为定积分计算

    • 弧长公式我们在定积分的应用中讨论过, s s s= ∫ α β ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm{d}t αβϕ′2(t)+ψ′2(t) dt(12)
    • r ( t ) = ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) r(t)=\sqrt{\phi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)} r(t)=ϕ2(t)+ψ2(t) (12-1)
  • 假定当参数 t t t α \alpha α变至 β \beta β时,曲线弧 L L L上的点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)依点 A A A运动至 B B B,该过程描出曲线弧 L L L

  • L L L上取一列点: A = M 0 , M 1 , ⋯ , M n = B A=M_0,M_1,\cdots,M_{n}=B A=M0,M1,,Mn=B

  • 设它们对应于一列单调增加的参数值 α = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = β \alpha=t_0<t_1<\cdots<t_{n}=\beta α=t0<t1<<tn=β(这表明 ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β))

  • 根据对弧长的曲线积分的定义: ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} λ0limi=1nf(ξi,ηi)Δsi(即式(3))

    • 设点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)对应于参数值 τ i \tau_{i} τi,即 ξ i = ϕ ( τ i ) \xi_{i}=\phi(\tau_i) ξi=ϕ(τi), η i = ϕ ( τ i ) \eta_{i}=\phi(\tau_i) ηi=ϕ(τi)(13),这里 τ i ∈ [ t i − 1 , t i ] \tau_{i}\in[t_{i-1},t_{i}] τi[ti1,ti],
    • t i − 1 → t i t_{i-1}\to{t_{i}} ti1ti L L L上对应的弧长为 Δ s i \Delta{s}_{i} Δsi,使用弧长公式(12),有 Δ s i \Delta{s_{i}} Δsi= ∫ t i − 1 t i ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm{d}t ti1tiϕ′2(t)+ψ′2(t) dt(14)
    • 由积分中值定理: Δ s i \Delta{s}_{i} Δsi= ϕ ′ 2 ( τ i ′ ) + ψ ′ 2 ( τ i ′ ) ⋅ Δ t i \sqrt{\phi'^2(\tau_{i}')+\psi'^2(\tau_{i}')}\cdot {\Delta{t_{i}}} ϕ′2(τi)+ψ′2(τi) Δti(15);其中 Δ t i \Delta{t_{i}} Δti= t i − t i − 1 t_{i}-t_{i-1} titi1, τ i ′ ∈ [ t i − 1 , t i ] \tau_{i}'\in[t_{i-1},t_{i}] τi[ti1,ti]于是
    • Note:这里 τ i , τ i ′ \tau_i,\tau_i' τi,τi有联系(都是 [ t i − 1 , t i ] [t_{i-1},t_{i}] [ti1,ti]区间上的点),但并不相同
    • 将式(13),(15)代入到式(3),于是 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f [ ϕ ( τ i ) , ψ ( τ i ) ] ϕ ′ 2 ( τ i ′ ) + ψ ′ 2 ( τ i ′ ) Δ t i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f[\phi(\tau_{i}),\psi(\tau_{i})]\sqrt{\phi'^{2}(\tau_{i}')+\psi'^{2}(\tau_{i}')}\Delta{t_{i}} λ0limi=1nf[ϕ(τi),ψ(τi)]ϕ2(τi)+ψ2(τi) Δti(16)
    • 由于函数(12-1)在闭区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,可以把上式中 r i ′ r_{i}' ri替换为 r i r_{i} ri,从而式(16)写作式(11)
      • 这一步要用到(12-1)函数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的一致连续性
  • 式(11)等号右端是一个定积分式子,因为其被积函数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,所以这个定积分是存在的,因此式(11)等号左端 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds也存在;并且可以有式(11)计算结果

小结

  • 公式(11)表明,计算对弧长的曲线积分 f L f ( x , y ) d s f_{L}f(x,y)\mathrm{d}s fLf(x,y)ds时,只要将 x , y , d s x,y,\mathrm{d}s x,y,ds分别替换为: ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ϕ ′ 2 t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \phi(t),\psi(t),\sqrt{\phi'^2{t)+\psi'^2(t)}}\mathrm{d}t ϕ(t),ψ(t),ϕ′2t)+ψ′2(t) dt
  • 然后做 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的定积分即可 ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)

曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式

  • 若曲线弧 L L L由方程 y = ψ ( x ) y=\psi(x) y=ψ(x)(17), ( x ∈ [ x 0 , X ] ) (x\in[x_0,X]) (x[x0,X])给出,则可以把这种情况看作特殊的参数方程:(参数方程的简单情形)
    • x = t x=t x=t, y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), t ∈ [ x 0 , X ] t\in[x_{0},X] t[x0,X](17-1)
  • 将其代入公式(11),得 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= ∫ x 0 X f ( x , ψ ( x ) ) 1 + ψ ′ 2 ( x ) d x \int_{x_0}^{X}f(x,\psi(x)) \sqrt{1+\psi'^{2}(x)}\mathrm{d}x x0Xf(x,ψ(x))1+ψ2(x) dx, ( x 0 < X ) (x_0<X) (x0<X)(18)
  • 类似地,若曲线弧 L L L由方程 x = ϕ ( y ) x=\phi(y) x=ϕ(y)(19), ( y ∈ [ y 0 , Y ] ) (y\in[y_0,Y]) (y[y0,Y])给出
    • y = t y=t y=t, x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)(19-1), ( y ∈ [ y 0 , Y ] ) (y\in[y_0,Y]) (y[y0,Y])
  • ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s Lf(x,y)ds= ∫ y 0 Y f ( ϕ ( y ) , y ) 1 + ϕ ′ 2 ( y ) d y \int_{y_0}^{Y}f(\phi(y),y) \sqrt{1+\phi'^{2}(y)}\mathrm{d}y y0Yf(ϕ(y),y)1+ϕ2(y) dy, y 0 < Y y_{0}<Y y0<Y(20)

推广

  • 若空间曲线 Γ \Gamma Γ由参数方程 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t), y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t), z = ω t z=\omega{t} z=ωt, t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t[α,β]给出的情形,这时 f L f ( x , y , z ) d s f_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s fLf(x,y,z)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) + ω ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)+\omega'^{2}(t)}\mathrm{d}t αβ[f(ϕ(t),ψ(t),ω(t))]ϕ′2(t)+ψ2(t)+ω2(t) dt ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)

  • 计算 ∫ L y d s \int_{L}\sqrt{y}\mathrm{d}s Ly ds其中 L L L时抛物线 y = x 2 y=x^2 y=x2上点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0) B ( 1 , 1 ) B(1,1) B(1,1)之间的一段弧
    • 曲线 L L L表示为 x x x为参数的参数方程: y = x 2 y=x^2 y=x2, x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x[0,1]
    • ∫ L y d s \int_{L}\sqrt{y}\mathrm{d}s Ly ds= ∫ 0 1 x 2 1 + ( x 2 ) ′ 2 d x \int_{0}^{1}\sqrt{x^2}\sqrt{1+(x^2)'^2}\mathrm{d}x 01x2 1+(x2)′2 dx= ∫ 0 1 x 1 + 4 x 2 d x \int_{0}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x 01x1+4x2 dx
      • 第一换元法: 1 2 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 d x 2 \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x^2 21011+4x2 dx2= 1 8 ∫ 0 1 1 + 4 x 2 d ( 4 x 2 + 1 ) \frac{1}{8}\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}(4x^2+1) 81011+4x2 d(4x2+1)= 1 8 2 3 ( 1 + 4 x 2 ) 3 2 ∣ 0 1 \frac{1}{8}\frac{2}{3}(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} 8132(1+4x2)2301= 1 12 [ ( 1 + 4 ) 3 2 − 1 ] \frac{1}{12}[(1+4)^{\frac{3}{2}}-1] 121[(1+4)231]= 1 12 ( 5 5 − 1 ) \frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) 121(55 1)

  • L L L: x = R cos ⁡ θ x=R\cos\theta x=Rcosθ, y = R sin ⁡ θ y=R\sin\theta y=Rsinθ, θ ∈ [ − α , α ] \theta\in[-\alpha,\alpha] θ[α,α]

  • I I I= ∫ L y 2 d s \int_{L}y^2\mathrm{d}s Ly2ds= ∫ − α α R 2 sin ⁡ 2 θ ( − R sin ⁡ θ ) 2 + ( R cos ⁡ θ ) 2 d θ \int_{-\alpha}^{\alpha}R^2\sin^2\theta\sqrt{(-R\sin\theta)^2+(R\cos\theta)^2}\mathrm{d}\theta ααR2sin2θ(Rsinθ)2+(Rcosθ)2 dθ

    • = R 3 ∫ − a a sin ⁡ 2 θ d θ R^3\int_{-a}^{a}\sin^2\theta\mathrm{d}\theta R3aasin2θdθ= R 3 2 [ θ − sin ⁡ 2 θ 2 ] − α α \frac{R^3}{2}[\theta-\frac{\sin 2\theta}{2}]_{-\alpha}^{\alpha} 2R3[θ2sin2θ]αα= R 3 2 ( 2 α − sin ⁡ 2 α ) \frac{R^3}{2}(2\alpha-\sin2\alpha) 2R3(2αsin2α)= R 3 ( α − sin ⁡ α cos ⁡ α ) R^3(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) R3(αsinαcosα)

  • L L L: x = a cos ⁡ t x=a\cos{t} x=acost, y = a sin ⁡ t y=a\sin{t} y=asint, z = k t z=kt z=kt, t ∈ [ 0 , 2 π ] t\in[0,2\pi] t[0,2π],求 I I I= ∫ Γ ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s \int_{\Gamma}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s Γ(x2+y2+z2)ds
    • I I I= ∫ Γ ( a 2 cos ⁡ 2 t + a 2 sin ⁡ 2 t + k 2 t 2 ) ( − a sin ⁡ t ) 2 + ( a cos ⁡ t ) 2 + k 2 d t \int_{\Gamma}(a^2\cos^2{t}+a^2\sin^2t+k^2t^2)\sqrt{(-a\sin{t})^2+(a\cos{t})^2+k^2}\mathrm{d}t Γ(a2cos2t+a2sin2t+k2t2)(asint)2+(acost)2+k2 dt
    • = ∫ 0 2 π ( a 2 + k 2 t 2 ) a 2 + k 2 d t \int_{0}^{2\pi}(a^2+k^2t^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t 02π(a2+k2t2)a2+k2 dt= a 2 + k 2 [ a 2 t + k 2 3 t 3 ] 0 2 π \sqrt{a^2+k^2}[a^2t+\frac{k^2}{3}t^3]_{0}^{2\pi} a2+k2 [a2t+3k2t3]02π
      • 提取与 t t t无关的因式 a 2 + k 2 \sqrt{a^2+k^2} a2+k2 到积分号前
    • = a 2 + k 2 [ 2 a 2 π + 8 3 k 2 π 2 ] \sqrt{a^2+k^2}[2a^2\pi+\frac{8}{3}k^2\pi^2] a2+k2 [2a2π+38k2π2]
    • = 2 π 3 a 2 + k 2 ( 3 a 2 + 4 π 2 k 2 ) \frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2) 32πa2+k2 (3a2+4π2k2)

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题目分析 附件为一个源码, 其中注释我都写好了, 主要就讲关键的知识点. #define _GNU_SOURCE#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <fcntl.h> #include <string.h> #include <errno.h> #include <sched.h> #include <uni…

【C/PTA —— 10.函数1(课外实践)】

C/PTA —— 10.函数1&#xff08;课外实践&#xff09; 一.函数题6-1 符号函数6-2 求排列数6-3 求一个大于10的n位整数w的后n-1位的数&#xff0c;并作为函数值返回。6-4 其右上三角&#xff08;含主对角线&#xff09;元素之和。6-5 字符串比较6-6 使用函数求素数和6-7 使用函…

【电子通识】为什么说做产品不是简单的将不同的技术进行搭积木?

很多人说做产品的硬件工程师&#xff0c;其实就是将专项技术工程师已经调好的模块进行拼接。类似于小孩将积木搭成一个房子的形状&#xff0c;虽然不同人搭的房子风格迥异&#xff0c;但所使用的原材料却都是一样的。 首先我并不同意这种看法&#xff0c;原因是产品工程师是需要…

JVM深入理解

JVM深入理解&#xff08;一&#xff09; JVM是什么 JRE、JDK和JVM 的关系 JVM原理 1、JVM是什么&#xff1f; JVM是Java Virtual Machine&#xff08;Java虚拟机&#xff09;的缩写&#xff0c;由一套字节码指令集、一组寄存器、一个栈、一个垃圾回收堆和一个存储方法域等组…

MediaCodec详解

MediaCodec 是Android平台提供的一个API&#xff0c;用于对音频和视频数据进行编码&#xff08;转换为不同的格式&#xff09;和解码&#xff08;从一种格式转换回原始数据&#xff09;。它是Android 4.1&#xff08;API级别16&#xff09;及以上版本的一部分&#xff0c;允许开…

Sulfo-CY5 Azide在其他生物学研究中的应用

除了生物成像、生物分子标记、分子生物学研究和生物传感与诊断等领域外&#xff0c;Sulfo-CY5 Azide还在其他生物学研究中有多种应用&#xff0c;**(来自星戈瑞的花菁染料)**如下&#xff1a; ****细胞追踪和细胞迁移研究&#xff1a;****Sulfo-CY5 Azide可以被用作细胞标记剂&…

【教3妹学编程-算法题】统计和小于目标的下标对数目

2哥 : 3妹&#xff0c;OpenAI的宫斗剧迎来了大结局&#xff01;OpenAI宣布阿尔特曼复职CEO&#xff0c;董事会重组 3妹&#xff1a;啊&#xff1f;到底谁才是幕后操纵者啊&#xff0c;有咩有揪出来 2哥 : 也不是很清楚&#xff0c;据说在被开除的几周前&#xff0c;前CEO曾谴责…

Linux 家目录和根目录

摘要&#xff1a; 在 Linux 操作系统中&#xff0c;家目录和根目录是两个非常重要的概念。它们是 Linux 文件系统中的两个关键节点&#xff0c;为用户和系统进程提供存储、管理和访问文件和目录的接口。本文旨在深入探讨和理解这两个目录的结构、功能和使用方式&#xff0c;同时…

行情分析 - - 加密货币市场大盘走势(11.24)

大饼昨日震荡幅度很小&#xff0c;而今天延续昨日的空头思路。当然如果从MACD日线来看&#xff0c;处于上涨趋势&#xff0c;稳健的可以选择观望等待。空头思路是因为目前EMA21均线和EMA55均线依然保持很远&#xff0c;最近两个月BTC上涨40%&#xff0c;而最近持续保持高位很快…

同时可视化原始中心点和经过坐标转换后的中心点

std::vector<Eigen::Vector2d> centroids_unknown_motion_underk;std::vector<Eigen::Vector2d> measurements_centroids_unknown_motion_k= transformLandmarks(centroids_unknown_motion_k, weights_pose); // 数据填充 // k时刻经过转换到k-1时刻坐标系下的中心…

Twincat使用:EtherCAT通信扫描硬件设备链接PLC变量

EtherCAT通信采用主从架构&#xff0c;其中一个主站设备负责整个EtherCAT网络的管理和控制&#xff0c;而从站设备则负责在数据环网上传递数据。 主站设备可以是计算机、工控机、PLC等&#xff0c; 而从站设备可以是传感器、执行器、驱动器等。 EL3102:MDP5001_300_CF8D1684;…

Arduino驱动PT100数字K型高温传感器(温湿度传感器)

目录 1、传感器特性 2、控制器和传感器连线图 3、硬件原理图 4、驱动程序 PT100适用于大部分400℃以下高温的测量,但是通常家用天然气灶焰芯温度可达800℃以上,烧制陶瓷的窖子或者大功率电炉温度更可超过1000℃,在这些超高温度的场景下就需要用到K型热电偶。

C# 无法将“int[]“类型隐式转换为“int?[]“,无法将“string[]“类型隐式转换为“string?[]“

在 C# 中&#xff0c;不能将 int[] 隐式转换为 int?[]&#xff0c;因为它们是两种不同的类型。int[] 是一个整数数组&#xff0c;而 int?[] 是一个可空整数数组。要解决这个问题&#xff0c;你可以使用显式转换或创建一个新的可空整数数组。 两种解决方案供大家选择 // 示例…

C++编程——输入

#include<bits/stdc.h> using namespace std; int main(){//beginint a 0, b 0, c 0, d 0, e 0;char f1, f2;char g[30];scanf("%d", &a); //输入整数并赋值给变量ascanf("%d", &b); //输入整数并赋值给变量bscanf("%d", &…

关于爱普生L3219彩色喷墨打印机打印过程中噪声过大的几点缓解方法

故障描述&#xff1a; 一台新购买的爱普生L3219使用过程中出现了噪声过大的问题&#xff0c;每次打印或者复印都或有明显的噪音过大的现象&#xff0c;目测观察大概是打印机字车左右来回移动的时候剐蹭滑道的问题&#xff0c;与经销商沟通后由经销商联系上级供货商更换一台全新…

CAN实验

CAN 寄存器 HAL库函数 代码 #include "./BSP/CAN/can.h"CAN_HandleTypeDef g_can1_handle; CAN_TxHeaderTypeDef g_can1_txheader; CAN_RxHeaderTypeDef g_can1_rxheader;/* STM32F103 TS1 8 TS2 7 BRP 3 波特率&#xff1a;36000 / [(9 8 1) * 4] 500Kbps …