微分流形2:流形上的矢量场和张量场

来了来了,切向量,切空间。流形上的所有的线性泛函的集合,注意是函数的集合。然后取流形上的某点p,它的切向量为,线性泛函到实数的映射。没错,是函数到实数的映射,是不是想到了求导。我们要逐渐熟悉把函数作为一个自变量,而且的它的因变量可以是一个实数。而且这个切向量是线性的,还有个导子我也不太明白,但有点类似于对偶空间里的那种概念。

总之,满足条件的就是方向偏导数这个算子。导子就是求导乘积公式吧。

这里还有一点,因为是函数的集合,其实我们在想象其几何意义的时候是比较困难的。首先流形你可以想象成一个光滑的曲面,但是流形上的泛函你是很难继续想象几何意义的。 

 这里的意思是说切空间是一个超平面,那么它是什么曲面上的超平面呢?这个曲面代表什么呢?我们想一下,正常来表示一个曲面,可能需要类似

x=x(u,v)

y=y(u,v)

z=z(u,v)

这样一个参数方程。从流形的角度考虑,u,v其实就是R^2的空间,而x,y,z就是拓扑流形。它上面的光滑标量场可以认为是(x,y,z)到R^2的同胚,然后在泛函到R上。也就是说,三维空间下的一个二维曲面是一个微分流形,我们取它的一个局部,它应该同胚于R^2,然后我们应该有一个到R的映射,这就是它的泛函。为什么要进入这样一个标量场呢:

所以我们不妨假设现在这个坐标它有一个物理标量和它对应即可。这样我们得到了一个叫做“场”的东西,所以,如果说流形是一个可以想象的光滑曲面,那我们现在对上面的每一个坐标取一个标量函数,那么就会得到一个“场”。要注意,这个场表示的是这个映射的本身,而不是映射后的值。这个场我们可以具象化为磁场,电场等。然后考虑切空间,它是作用在这个映射上,或者说作用在这个“场”上的偏导方向算子,特殊一点就是梯度(变化最快的一个方向)。每一个方向导数的结果就是一个“斜率”,理论上我们可以写出这个斜率下经过p点的“直线方程”,我们把所有的方向全部组合在一起,所有的直线就变成了平面,也就是这个场的超平面。回到数学分析的课本上,它首先就定义了一个标准坐标t,然后参数方程x=x(t),后面要对这个方程求导,所以这个方程就是我们的“场”。这个场有完整的坐标结构,t是“x轴”,x是“y轴”。可以想象成一个曲面,后面求导得到的切平面和我们前面说的就是一一对应的了。

不过既然x=x(t)是场,那么它的标量函数应该就是x1=x1(t),  x2=x2(t).... 所以t就是标准的流形吧。

不过因为x和t同胚,可以把x理解成流形,t理解成R^n空间也是可以的。

其实我们经常说的曲面,或者函数图像,它的本质就是映射本身。而不是单纯的探讨定义域和值域。一般来说,定义域和值域应该更多的都是单纯的多面体才对。

 

这个定义要好好理解,首先它定义了经过p点的参数曲线的合集。首先把一个极小的区间映射到R^n空间,然后这个是和流形M是同胚的。在R^n中,我们想找到一个小区间到R^n映射的切向量,那么就是单纯的在R^n空间下求导数即可。这个思路应该是这样:例如3维空间下的二维曲面,我们想要抛弃三维的嵌入概念,直接把它的二维同胚给拿来分析,然后用一维的曲线先去做一个参数映射,得到二维空间下的曲线。求个导就是对应的切向量了,把这些所有的曲线集合起来,那么就得到了切空间。这里其实用到了一个小知识点,我们要求导,其实就是固定一个轴,然后对另一个轴求变化率。就像曲面是uv坐标轴构成的,那么我们可以固定u轴,对v求导即可。其实就偏导的概念了。

 这里的符号比较微妙,TM下面少了个p,所以就是任何M上的点的所有切向量的有序对的集合。切向量是有很多的,因为方向导数有无数个方向。

要牢记,切丛是所有切向量有序对的集合,而向量场是切丛的一个截影,是一个映射。其实有序对就是一个映射。

 

 

说的有道理,非数学系我也觉得这样就够了。注意“场”是一个映射,把流形映射到一个标量上,形成的一个“场”,这个场是映射本身的性质。

 这个定义对我可能有点奇怪,流形上的第一个标量场继续求方向导数,得到第二个标量场。不过也对,本来求导后得到的是一个切空间,但现在考虑的是完整的流形M,那么所有的切空间的合集应该还是一个标量场。不过这里应该是直接拿到切空间某一个方向的导数即可。而不是全部的切空间。

来到对偶空间。和前面类似,我们分析一个空间,也要分析这个空间上建立的泛函映射,这个映射就是对偶空间。

对偶基的概念,其实就是在原来基的基础上,映射到0还是1的问题。感觉是可以化成标准基的意思。

 

 

这里应该作者写错了,参考线性代数应该这样学:90页

就是说v和v**是自然同构,他们的同构定义是需要满足一定的关系的。

 

 

为什么这么复杂,还要继续定义切空间上面的对偶空间哦。 

定义太多了,然我们回到微分的主题上,看有没有办法用最好的办法记忆。

 

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