题目描述与示例

题目描述

给定一个含有N个正整数的数组，求出有多少个连续区间（包括单个正整数），它们的和大于等于x。

输入描述

第一行两个整数N x (0 < N <= 100000 ,0 <= x <= 10000000)

第二行有N个正整数（每个正整数小于等于100）。

输出描述

输出一个整数，表示所求的个数。

示例一

输入

3 7
3 4 7

输出

4

说明

3+4
4+7
3+4+7
7

这四组数据都是大于等于7的，所以答案为4

示例二

输入

10 10000000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

输出

0

解题思路

题目要求求连续区间的和，很容易想到使用前缀和的思路来解决。先求出前缀和数组，如对示例一求出[3, 4, 7]的前缀和数组为pre_sum_list = [0, 3, 7, 14]。

由于原数组中每一个元素均为非负整数，故前缀和数组一定是一个非递减数组。

对于pre_sum_list中的每一个元素pre_sum_list[i]，我们要找到索引j（i < j）。

• j是满足pre_sum_list[j] - pre_sum_list[i] >= target的第一个索引。
• 此时任意比j大的索引k，都能使得pre_sum_list[k] - pre_sum_list[i] >= target成立，即区间[i,k]是一个符合要求的区间。
• 由于前缀和数组是一个非递减数组，j的寻找可以很容易地使用二分查找来完成。
• 假设j已经求出，那么对于i而言，一共存在n+1-j个这样的区间，满足连续区间和大于等于target。将所有i对应的n+1-j计算并求和，即可以得到答案。

代码

Python

# 题目：【前缀和】2023B-寻找连续区间
# 分值：100
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：前缀和/二分查找
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问from itertools import accumulaten, target = map(int, input().split())
nums = list(map(int, input().split()))
# 构建前缀和数组
pre_sum_list = [0] + list(accumulate(nums))
# 初始化答案
ans = 0# 只需要遍历前n个前缀和即可，最后一个前缀和无需考虑
for i in range(n):# 二分查找的目标值bi_target = pre_sum_list[i] + target# 优化：如果发现二分目标值已经超过了数组中所有元素总和# 则必然无法找到以i为起始位置的连续区间，其和大于target# 故直接退出循环即可if bi_target > pre_sum_list[-1]:break# 左闭右开区间# 注意前缀和数组的长度为n+1，故此处right初始化为n+2left, right = i, n+2while left < right:mid = left + (right - left) // 2# 找到第一个大于等于bi_target的数的索引if pre_sum_list[mid] >= bi_target:right = midelse:left = mid + 1# 退出while循环时，j = left = right# 是使得pre_sum_list[j] >= bi_target的第一个索引# 一共有n+1-j个区间，其区间和大于targetans += (n+1-left)print(ans)

Java

import java.util.Scanner;
import java.util.Arrays;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int target = scanner.nextInt();int[] nums = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {nums[i] = scanner.nextInt();}int[] preSum = new int[n + 1];preSum[0] = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];}int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int biTarget = preSum[i] + target;if (biTarget > preSum[n]) {break;}int left = i;int right = n + 2;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (preSum[mid] >= biTarget) {right = mid;} else {left = mid + 1;}}ans += (n + 1 - left);}System.out.println(ans);}
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;int main() {int n, target;cin >> n >> target;vector<int> nums(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> nums[i];}vector<int> preSum(n + 1, 0);for (int i = 0; i < n; i++) {preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];}int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int biTarget = preSum[i] + target;if (biTarget > preSum[n]) {break;}int left = i;int right = n + 2;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (preSum[mid] >= biTarget) {right = mid;} else {left = mid + 1;}}ans += (n + 1 - left);}cout << ans << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(NlogN)。构建前缀和的时间复杂度为O(N)。对于前缀和数组中的每一个元素pre_sum_list[i]，都要进行二分查找，单次二分查找的时间复杂度为O(logN)，一共需要进行N次二分查找。

空间复杂度：O(N)。前缀和数组所占空间。

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