Bellman-Ford算法

初步了解

Bellman-Ford算法是一种用于寻找带有负权边的图中的单源最短路径的算法。它可以处理一般的图，包括存在负权边和负权环的情况。

以下是Bellman-Ford算法的基本思想和步骤：

初始化：将源节点的距离设置为0，将所有其他节点的距离设置为无穷大（或一个很大的数）。
进行松弛操作：对图中的每条边进行一轮松弛操作。松弛操作是指通过检查是否存在一条更短路径来更新节点的距离值。
重复进行步骤2：重复进行|V|-1次松弛操作，其中|V|是图中节点的数量。这是为了确保所有可能的最短路径都被考虑到。
检测负权环：如果在进行第|V|-1次松弛操作后，仍然存在可以被进一步松弛的边，那么说明图中存在负权环。在这种情况下，Bellman-Ford算法无法得出正确的最短路径。
输出结果：如果不存在负权环，则最终的距离值就是源节点到每个节点的最短路径长度。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(|V| * |E|)，其中|V|是节点数，|E|是边数。它可以处理负权边，但是在图中存在负权环的情况下，算法将无法收敛。

负权环是指在图中存在一个环路，其中环路上的边的权重之和为负值。换句话说，如果从起点沿着环路走一圈回到起点，所经过的边的权重之和是负数。
在最短路径算法中，负权环是一个问题，因为它会导致无限循环的情况。当存在负权环时，最短路径就没有意义，因为可以通过无限次地绕着负权环来获得更小的路径长度。
猜想一下，如果一个回路下来权值是一个负值，那么多绕几圈权值越来越小，这样就不存在最短路径

注意了解为什么经过|V| - 1 次操作后仍然可以被进一步松弛的边那么说明图中存在负权环？
在一个没有负权环的图中，最短路径的长度最多包含|V|-1条边。而当存在负权环时，路径可以无限地绕着负权环循环，从而使路径的长度无限减小。

正式了解

我们来看看代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>struct Edge {int source;int destination;int weight;
};void BellmanFord(const std::vector<Edge>& edges, int numVertices, int source) {std::vector<int> distance(numVertices, std::numeric_limits<int>::max());std::vector<int> predecessor(numVertices, -1);distance[source] = 0;// 进行|V|-1次松弛操作for (int i = 1; i <= numVertices - 1; ++i) {for (const auto& edge : edges) {if (distance[edge.source] != std::numeric_limits<int>::max() &&distance[edge.source] + edge.weight < distance[edge.destination]) {distance[edge.destination] = distance[edge.source] + edge.weight;predecessor[edge.destination] = edge.source;}}}// 检测负权环for (const auto& edge : edges) {if (distance[edge.source] != std::numeric_limits<int>::max() &&distance[edge.source] + edge.weight < distance[edge.destination]) {std::cout << "图中存在负权环" << std::endl;return;}}// 输出最短路径std::cout << "节点\t距离\t路径" << std::endl;for (int i = 0; i < numVertices; ++i) {std::cout << i << "\t" << distance[i] << "\t";std::vector<int> path;int current = i;while (current != source) {path.push_back(current);current = predecessor[current];}path.push_back(source);for (int j = path.size() - 1; j >= 0; --j) {std::cout << path[j] << " ";}std::cout << std::endl;}
}int main() {int numVertices = 5;std::vector<Edge> edges = {{0, 1, -1},{0, 2, 4},{1, 2, 3},{1, 3, 2},{1, 4, 2},{3, 2, 5},{3, 1, 1},{4, 3, -3}};int source = 0;BellmanFord(edges, numVertices, source);return 0;
}