2023 年亚太赛 APMCM （A题）国际大学生数学建模挑战赛 |数学建模完整代码+建模过程全解全析

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。

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完整内容可以在文章末尾领取！

问题1

图像处理：

图像预处理：

图像预处理是在图像进入模型之前对其进行操作的过程，目的是提高模型的性能和准确性。预处理步骤可能包括：

调整大小： 将图像调整为模型期望的大小。
颜色空间转换： 将图像转换为适合模型的颜色空间，例如从BGR到RGB。
归一化： 将像素值缩放到0到1的范围。

特征提取：

特征提取是从图像中提取有用信息的过程。对于苹果图像，可能关注的特征包括颜色、纹理、形状等。在深度学习中，卷积神经网络（CNN）通常用于自动学习图像中的特征。

目标检测：

目标检测算法：

目标检测是在图像中识别和定位物体的任务。常见的目标检测算法包括：

Faster R-CNN： 使用区域建议网络（Region Proposal Network）提出候选区域，然后通过分类器和回归器来确定目标和其边界框。
YOLO (You Only Look Once)： 将目标检测问题转化为回归问题，一次性完成检测和定位，速度较快。

边界框：

目标检测输出的结果通常是包围目标的边界框。边界框由四个坐标值表示，分别是左上角和右下角的坐标。

数量计算：

目标统计：

数量计算是通过统计目标的个数来解决问题的任务。在目标检测的上下文中，数量计算通常涉及统计检测到的边界框的数量。

直方图：

直方图是一种可视化工具，用于显示数据分布。在这个问题中，可以使用直方图来展示苹果数量的分布情况，帮助理解数据的集中程度和范围。

总体流程：

图像处理： 对图像进行预处理，确保其适合目标检测模型的输入。
目标检测： 使用目标检测模型识别图像中的苹果，并得到边界框。
数量计算： 统计边界框的数量，即图像中苹果的数量。
直方图绘制： 利用数量计算的结果绘制直方图，展示苹果数量的分布情况。

You Only Look Once (YOLO) 是一种用于目标检测的深度学习算法，其设计的核心思想是将目标检测任务转化为回归问题。：

1. 网络输出：

在 YOLO 中，网络的输出是一个包含检测信息的张量，该张量被划分为网格。每个网格单元负责检测图像中某个区域内的目标。

每个网格单元输出的信息通常包括：

边界框坐标： $(x, y)$ 表示边界框的中心坐标， $(w, h)$ 表示边界框的宽度和高度。
目标置信度： 表示该边界框内是否包含目标的置信度分数。
类别概率： 表示边界框内目标属于每个类别的概率。

2. 边界框坐标表示：

边界框坐标通常由 $(x, y, w, h)$ 表示，其中 $(x, y)$ 是边界框中心的相对坐标，而 $(w, h)$ 是边界框的相对宽度和高度。这些相对坐标通常被规范化到网格单元的尺寸范围内，即 $\leq x, y, w, h \leq 1$ 。

3. 目标置信度：

目标置信度表示网络认为边界框内是否包含目标的置信度。通常用 $ P(\text{object}) $ 表示。

4. 类别概率：

对于每个边界框，网络输出一个包含类别概率的向量。该向量的长度等于数据集中的类别数量，每个元素表示目标属于相应类别的概率。通常用 $ P(\text{class}_i) $ 表示。

5. 损失函数：

YOLO 的训练目标是最小化预测框和真实框之间的差距。损失函数通常由三个部分组成：

位置损失： 衡量边界框坐标的回归误差。
目标置信度损失： 衡量目标置信度的二值交叉熵损失。
类别概率损失： 衡量类别概率的交叉熵损失。

总体损失函数可表示为：

$\text{Loss} = \lambda_{\text{coord}} \sum_{i=1}^{S^2} \sum_{j=1}^{B} \left[ \left( x_i - \hat{x}_i \right)^2 + \left( y_i - \hat{y}_i \right)^2 + \left( \sqrt{w_i} - \sqrt{\hat{w}_i} \right)^2 + \left( \sqrt{h_i} - \sqrt{\hat{h}_i} \right)^2 \right]+ \lambda_{\text{conf}} \sum_{i=1}^{S^2} \sum_{j=1}^{B} \left[ \left( C_i - \hat{C}_i \right)^2 \right] + \sum_{i=1}^{S^2} \left[ - C_i \sum_{c \in \text{classes}} \hat{p}_i(c) \log(p_i(c)) \right]$

其中， $S$ 是每个边界框的网格数， $B$ 是每个网格预测的边界框数， $\lambda_{\text{coord}}$ 和 $\lambda_{\text{conf}}$ 是损失的权重因子， $\hat{x}_i, \hat{y}_i, \hat{w}_i, \hat{h}_i, \hat{C}_i, \hat{p}_i(c)$ 是真实值。

整个算法还包括非极大值抑制（NMS）等后处理步骤，以提高检测结果的精度。

计算每张图像中苹果的数量的一种方法是使用目标检测算法。这种算法可以检测图像中的苹果并提供它们的边界框。然后，通过统计边界框的数量，可以得到每张图像中苹果的数量。：

导入必要的库： 在Python中，使用常见的计算机视觉库，如OpenCV和TensorFlow。

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.models import load_model

加载预训练的目标检测模型： 使用一个已经在大型数据集上进行了训练的目标检测模型。在这里，我们使用TensorFlow的模型库，加载一个预训练的模型。

# 请替换为实际的模型路径
model_path = 'path/to/your/pretrained/model'
model = load_model(model_path)

图像预处理： 对每张图像进行预处理，使其符合模型的输入要求。

def preprocess_image(image_path):img = cv2.imread(image_path)img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)  # 转换为RGB格式img = cv2.resize(img, (224, 224))  # 调整大小，根据实际模型要求img = img / 255.0  # 归一化img = np.expand_dims(img, axis=0)  # 添加批次维度return img

目标检测： 对每张图像运行目标检测模型，获取边界框信息。

def detect_apples(image_path, detection_threshold=0.5):img = preprocess_image(image_path)detections = model.predict(img)# 仅保留置信度大于阈值的检测结果boxes = detections['detection_boxes'][0].numpy()scores = detections['detection_scores'][0].numpy()selected_boxes = boxes[scores > detection_threshold]return selected_boxes

计算苹果数量： 统计每张图像中的苹果数量。

def count_apples(image_path):boxes = detect_apples(image_path)return len(boxes)

遍历图像数据集： 对附件1中的所有图像运行上述计算苹果数量的函数，并保存结果。

image_folder = 'path/to/your/image/dataset'
image_list = ['image1.jpg', 'image2.jpg', ...]  # 替换为实际的图像列表apple_counts = []for image_name in image_list:image_path = f'{image_folder}/{image_name}'count = count_apples(image_path)apple_counts.append(count)

绘制直方图： 使用得到的苹果数量数据绘制直方图。

plt.hist(apple_counts, bins=range(min(apple_counts), max(apple_counts) + 1), edgecolor='black')
plt.xlabel('Number of Apples')
plt.ylabel('Frequency')
plt.title('Distribution of Apple Counts')
plt.show()

问题二：

1. 图像坐标和物理坐标的映射：

通常，在计算机视觉中，图像坐标系的原点位于图像的左上角。而在数学中常用的坐标系是以左下角为原点的坐标系。因此，需要进行坐标变换，将图像坐标映射到以图像左下角为原点的物理坐标系。对于一张高度为 $H$ ，宽度为 $W$ 的图像中的点 $(x_{\text{img}}, y_{\text{img}})$ ，其在物理坐标系中的位置为 $(x_{\text{phys}}, y_{\text{phys}})$ 可以通过以下关系计算：

$x_{\text{phys}} = x_{\text{img}}$

$y_{\text{phys}} = H - y_{\text{img}}$

2. 目标检测的输出：

目标检测模型输出的是检测到的目标的边界框信息。对于每个边界框，通常包含了相对于图像尺寸的归一化坐标，表示为 $(x, y, w, h)$ 。其中， $(x, y)$ 是边界框的中心坐标， $(w, h)$ 是边界框的宽度和高度。

3. 物理坐标的计算：

在得到目标检测输出后，需要将归一化坐标转换为物理坐标。使用上述坐标映射公式，可以计算每个检测到的苹果在图像中的物理坐标。

$x_{\text{phys}} = x$

$y_{\text{phys}} = H - y$

4. 散点图绘制：

散点图是一种可视化手段，用来展示数据点在坐标系中的分布。在这个问题中，苹果的物理坐标将作为数据点，其中 x 轴表示水平坐标，y 轴表示垂直坐标。

5. 代码实现：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from tensorflow.keras.models import load_modeldef preprocess_image(image_path):img = cv2.imread(image_path)img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)img = cv2.resize(img, (224, 224))img = img / 255.0img = np.expand_dims(img, axis=0)return imgdef detect_apples(image_path, detection_threshold=0.5):img = preprocess_image(image_path)detections = model.predict(img)boxes = detections['detection_boxes'][0].numpy()scores = detections['detection_scores'][0].numpy()selected_boxes = boxes[scores > detection_threshold]return selected_boxesdef plot_apple_positions(image_folder, image_list):all_apple_positions = []for image_name in image_list:image_path = f'{image_folder}/{image_name}'boxes = detect_apples(image_path)for box in boxes:# 转换为图像左下角为坐标原点的坐标x = box[1]y = 1 - box[2]all_apple_positions.append((x, y))# 绘制散点图x_values, y_values = zip(*all_apple_positions)plt.scatter(x_values, y_values, marker='o', color='red')plt.xlabel('X Coordinate')plt.ylabel('Y Coordinate')plt.title('Apple Positions in the Dataset')plt.show()# 请替换为实际的模型路径
model_path = 'path/to/your/pretrained/model'
model = load_model(model_path)# 替换为实际的图像文件夹和图像列表
image_folder = 'path/to/your/image/dataset'
image_list = ['image1.jpg', 'image2.jpg', ...]plot_apple_positions(image_folder, image_list)

问题三

1. 苹果成熟度的定义：

在图像处理中，通常使用颜色作为成熟度的指标。颜色信息可以通过图像中每个像素的 RGB（红绿蓝）值来表示。成熟的苹果通常在红色通道上有更高的值。

2. 颜色特征提取：

颜色特征提取是通过图像处理技术将图像转换为适合颜色分析的表示形式。在这里，我们可以使用 RGB 颜色空间，也可以转换到 HSV（色相、饱和度、明度）颜色空间。通过分析颜色通道的分布，我们可以得到苹果的颜色信息。

3. 建立数学模型：

建立数学模型来计算苹果的成熟度。可以通过以下步骤：

将图像转换为 RGB 或 HSV 颜色空间。
提取颜色通道的直方图，得到颜色分布。
定义成熟颜色范围，比如在红色通道上的某个阈值。
计算苹果颜色直方图与成熟颜色直方图的相似性，可采用相关性或其他相似性度量。

4. 直方图绘制：

直方图是一种图形表示数据分布的方法。对于成熟度的直方图，我们可以：

将所有图像的成熟度值按照一定的范围进行分组。
统计每个成熟度范围内苹果的数量。
绘制直方图，其中 x 轴表示成熟度范围，y 轴表示每个范围内苹果的数量。

数学模型：

成熟度计算的数学模型：

考虑一个简单的模型，使用颜色直方图相似性来计算成熟度。假设 $H_{\text{apple}}(i)$ 和 $H_{\text{ripe}}(i)$ 分别表示苹果图像和成熟颜色的颜色直方图中第 $i$ 个颜色通道的值，成熟度 $R$ 可以通过以下公式计算：

$ R = \frac{\sum_{i=1}^n \min(H_{\text{apple}}(i), H_{\text{ripe}}(i))}{\sum_{i=1}^n H_{\text{apple}}(i)} $

其中 $n$ 是直方图中的颜色通道数量。

直方图绘制的数学模型：

直方图是一种离散的表示方法，其中每个成熟度范围被划分为一个柱子，柱子的高度表示该范围内苹果的数量。可以使用统计学中的频率分布来表示：

$ P(R_i) = \frac{\text{在范围} R_i \text{内的苹果数量}}{\text{总苹果数量}} $

其中 $R_i$ 表示成熟度的第 $i$ 个范围。

相应的直方图绘制：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import exposuredef preprocess_image(image_path):img = cv2.imread(image_path)img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)return imgdef calculate_color_histogram(image):# 转换为 HSV 颜色空间hsv = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_RGB2HSV)# 提取颜色通道hue_channel = hsv[:,:,0]# 计算颜色直方图hist, _ = np.histogram(hue_channel, bins=256, range=(0, 256))# 归一化直方图hist = hist / hist.sum()return histdef calculate_similarity(hist1, hist2):# 使用直方图相关性作为相似性度量correlation = cv2.compareHist(hist1, hist2, cv2.HISTCMP_CORREL)return correlationdef main():image_folder = 'path/to/your/image/dataset'image_list = ['image1.jpg', 'image2.jpg', ...]ripe_color_hist = calculate_color_histogram(preprocess_image('path/to/ripe/color/reference/image.jpg'))maturity_scores = []for image_name in image_list:image_path = f'{image_folder}/{image_name}'image = preprocess_image(image_path)apple_color_hist = calculate_color_histogram(image)# 计算成熟度similarity = calculate_similarity(ripe_color_hist, apple_color_hist)maturity_scores.append(similarity)# 绘制成熟度分布直方图	plt.hist(maturity_scores, bins=20, edgecolor='black')plt.xlabel('Maturity Score')plt.ylabel('Number of Apples')plt.title('Apple Maturity Distribution')plt.show()if __name__ == "__main__":main()