二叉查找（排序）树你需要了解一下

简介

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树，是一种重要的数据结构。

它有以下特性：

若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。
若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

在一般情况下，查询效率比链表结构要高。

性质

二叉排序树（Binary Sort Tree）具有以下性质：

它的左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。
它的右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
它的左右子树也分别为二叉排序树。

此外，查找最小和最大元素在二叉排序树中也是非常简单的，从根节点一直往左走，直到无路可走就可以得到最小值；从根节点一直往右走，直到无路可走就可以得到最大值。在插入新元素时，可以从根节点开始，遇键值较大者就向左，遇键值较小者就向右，一直到末端，就是插入点。

应用场景

二叉排序树的应用场景包括但不限于：

快速查找 ：二叉排序树的特性使得查找特定元素变得非常高效。在二叉搜索树中，每次比较后可以确定下一步是向左还是向右，这使得查找时间复杂度可以保持在O(log n)，其中n是树中节点的数量。
插入和删除 ：二叉排序树的插入和删除操作也是高效的。当插入一个新的节点时，可以根据其值的大小来决定放在左子树还是右子树，或者在必要时进行调整以保持二叉排序树的平衡。删除节点时，也可以根据其位置和与相邻节点的关系来决定如何删除。
平衡二叉树的应用 ：平衡二叉树如AVL树、红黑树等，在实际应用中更为广泛。例如红黑树被广泛用于C++的STL中，如map和set的实现，还有Linux文件管理。AVL树虽然应用相对较少，但windows对进程地址空间的管理用到了AVL树。
大数据查找 ：二叉排序树非常适合处理大量数据，例如从10亿数据里面找到前100大的数。通过构建一个最小堆，可以高效地找到最大的k个元素。
字典树（Trie） ：用在统计和排序大量字符串，如自动机、M数据库索引。

总的来说，二叉排序树是一种非常实用的数据结构，可以在许多场景下发挥重要作用。

时间复杂度

二叉排序树的时间复杂度主要取决于树的结构和操作类型。

对于查找操作，二叉排序树在最坏的情况下（即完全二叉树或接近完全二叉树）下，时间复杂度为O(n)，其中n为树中节点的数量。然而，在平均情况下，二叉排序树的查找时间复杂度为O(log n)。

对于插入操作，在最坏的情况下（即树接近满二叉树），插入的时间复杂度为O(n)。但在平均情况下，插入时间复杂度为O(log n)。

对于删除操作，如果删除的是叶子节点，时间复杂度为O(log n)。如果删除的是内部节点，时间复杂度为O(log n)。如果删除的是根节点，且树有两个子节点，则删除操作时间复杂度为O(log n)。

示例

以下是一个简单的Java示例，演示了如何使用二叉排序树（Binary Search Tree）来存储和搜索整数：

public class BinarySearchTree {class Node {int key;Node left, right;public Node(int item) {key = item;left = right = null;}}Node root;BinarySearchTree() {root = null;}void insert(int key) {root = insertRec(root, key);}Node insertRec(Node root, int key) {if (root == null) {root = new Node(key);return root;}if (key < root.key) {root.left = insertRec(root.left, key);} else if (key > root.key) {root.right = insertRec(root.right, key);} else { // Duplicate keys not allowedreturn root;}return root;}void inorder()  {inorderRec(root);}void inorderRec(Node root) {if (root != null) {inorderRec(root.left);System.out.println(root.key);inorderRec(root.right);}}public static void main(String[] args) {BinarySearchTree tree = new BinarySearchTree();tree.insert(8);tree.insert(3);tree.insert(10);tree.insert(1);tree.insert(6);tree.insert(14);tree.insert(4);tree.insert(7);tree.insert(13);// tree.delete(10); // uncomment this to see the impact of deletion from BSTtree.inorder(); } 
}

在这个示例中，我们定义了一个二叉排序树的节点，它有一个键（key）和两个子节点（left 和 right）。树中的每个节点都满足二叉排序树的性质：左子树上的所有节点的键都小于当前节点的键，右子树上的所有节点的键都大于当前节点的键。我们在 insert() 方法中使用递归方式插入新的节点，并保证树的性质。inorder() 方法用于按中序遍历顺序打印树中的所有元素。