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AVL树

概念

AVL树又名高度平衡的二叉搜索树，由G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis发明，顾名思义，其任意节点的左右子树最大高度差都不超过1，以此来阻止二叉搜索树退化成为单叉树这种情况。

AVL树具有以下的特性：

• 任意节点的左右子树最大高度差不超过1
• 所有节点的左节点都比父节点小。
• 所有节点的右节点都比父节点大。
• 它的左右子树都是AVL树。
• 中序遍历是有序的

AVL树与普通二叉搜索树的对比：

AVL的查找

AVL树的查找与二叉搜索树基本一致，因为其自身的性质，所以只要查找的数据比当前节点小就要到左节点找，反之就是右节点。

AVL树的插入

在介绍插入前得先说一下平衡因子，这是为了得知插入新结点后树是否还平衡的方式之一。

平衡因子是在每个结点上安置一个数字，如果是新插入的节点则它的数值为0，如果其在双亲节点的右边，则双亲节点的平衡因子++，反之–，然后继续向上调整，直到父节点的因子为0/2/-2。

AVL因为要保持其高度平衡的特性，所以每次插入都要检查其是否平衡，如果不平衡（平衡因子的绝对值大于1），则需要通过旋转来让树保持平衡。

AVL树的旋转大致分为两种情况：

• 极端倾斜（左倾、右倾）
• 非极端倾斜（局部左倾，局部右倾）

极端倾斜：
极端倾斜的情况比较容易解决，如果是右倾，那么只需要让平衡因子为2的节点做左旋运动，然后更新平衡因子即可，左倾则和右倾相反，做右旋操作。

局部倾斜：
局部倾斜分为局部左倾和右倾，而左右倾其中又分为三中情况，为了方便说明，我用parent来表示平衡因子（bf）为2的节点，subR来表示parent->right，subRL来表示subR->left 。

• subRL为0则表示subRL为新增节点
• subRL为1则表示新节点在subRL的右子树
• subRL为-1则表示新节点在subRL的左子树

subRL为0的情况：

subRL为1的情况：

subRL为-1的情况：

代码部分

AVL树的定义

因为我们需要频繁去调整树的平衡，使用普通的二链结构会比较难以控制节点，所以我使用了三叉链的结构，多增加了一个指向父节点的指针。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const std::pair<K, V> kv): _left(nullptr)	, _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}	AVLTreeNode<K, V>* _left;	//左节点AVLTreeNode<K, V>* _right;	//右节点AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//父节点std::pair<K, V> _kv;		//使用pair当作数据int _bf;   // 节点的平衡因子
};

查找

二叉搜索树与AVL树的搜索基本无区别

template <class K, class V>
typename AVLTree<K, V>::Node* AVLTree<K, V>::find(const std::pair<K, V>& data)
{Node* cur = _root;	while(cur){if(cur->_kv.first < data.first){	//到右节点寻找cur = cur->_right;}else if(cur->_kv.first > data.first){	//到左节点寻找cur = cur->_left;}else {	//找到return cur;}}return cur;
}

插入

AVL树的插入无非也就是弄清楚倾斜的时机和位置，就和上方所说的，AVL树的旋转情况只有极端和非极端的，如果没有出现不平衡则向上调整。

template <class K, class V>
bool AVLTree<K, V>::Insert(const std::pair<K, V> data)
{if(!_root){_root = new Node(data);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while(cur)	//先搜索{if(cur->_kv.first < data.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(cur->_kv.first > data.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}cur = new Node(data);		//创建新节点cur->_parent = parent;		//链接if(!parent->_left){parent->_left = cur;}else {parent->_right = cur;}while(parent){if(cur == parent->_left)parent->_bf--;		//这里与上方动图有些许不同，动图与我平衡因子的加减是相反的else	// cur == parent->_rightparent->_bf++;if(parent->_bf == 0)	//为0说明左右节点最大高度差一致break;else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)	//为1则继续向上调整{cur = parent;		parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)	//出现了不平衡的清空{if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)	//极端右倾{RotateL(parent);					//左倾}else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)	//极端左倾{RotateR(parent);					//右倾}else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)	//局部左倾{RotateRL(parent);					//先右倾，再左倾}else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)	//局部右倾{	RotateLR(parent);					//左倾再右倾}break;}else assert(false);}return true;
}

旋转

AVL树的旋转其难点在于正确的连接节点，与调整平衡因子的数值。

void AVLTree<K, V>::RotateL(Node* parent)
{	//左旋Node* subR = parent->_right;	Node* subRL = subR->_left;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_right = subRL;		//交换父节点和其右孩子的位置parent->_parent = subR;subR->_left = parent;		subR->_parent = parentParent;if(subRL)	//subRL有为空的可能性subRL->_parent = parent;if(_root == parent){	_root = subR;}else {	//连接祖父节点if(parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else {parentParent->_right = subR;}}parent->_bf = subR->_bf = 0;	//调整平衡因子
}void AVLTree<K, V>::RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;subL->_parent = parentParent;parent->_left = subLR;parent->_parent = subL;if(subLR)subLR->_parent = parent;if(parent == _root)_root = subL;else{if(parent == parentParent->_left)parentParent->_left = subL;elseparentParent->_right = subL;}subL->_bf = parent->_bf = 0;
} void AVLTree<K, V>::RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;	//先记录平衡因子，以防调整后丢失RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//调整因子if(bf == 0)	//说明subRL是新增节点{parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if(bf == 1)	//新增节点在subRL的右子树{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if(bf == -1) 	//新增节点在subRL的右子树{subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else {assert(false);}
}void AVLTree<K, V>::RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if(bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if(bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if(bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else assert(false);
}

📓总结

AVL的时间复杂度：

函数	时间复杂度
find	$O(lo{g}_{2}n)$
insert()	$O(lo{g}_{2}n)$

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