数学分析:外微分

 先回顾下微分的概念,首先我们找到一个道路x,它是关于时间t的函数,然后我们可以得到一个速度,也就是切向量,所有道路的切向量组成了切空间。如果从泛函角度来理解,它应该是一个求偏导的基。是一个向量。而微分,则是在固定函数f,注意f是作用在道路x上的。对于固定的f(x),我们通过让每个偏导都求一遍,然后求和就得到了最终的微分公式。而微分是切空间的对偶空间,它的基是dx,注意dx1(x)是取x的第一个坐标,所以对于切向量,那么dx1就是取它的第一个坐标。然后我们让他作用于一个基,那么dx1(第一个基)肯定=1,其他是0,刚好复合对偶空间的定义。终于明白了基为什么dx.

其次,为什么微分形式dx1^dx2....dx^n这么重要呢?

因为dx意味着取坐标,取坐标操作对应的行列式的运算是斜对称的形式。是有良好性质的。

而且,任何一个k形式都可以看成F作用在基上乘以一组取坐标的外积。

公式14中的元素是流形M上的m次微分形式在某一张图下面的坐标形式。

 

因为m次微分形式就是m形式,必然可以变成上面的坐标形式的。

后面内容有点复杂,我们先回到之前的学习内容:

k形式其实可以看成k个1形式的乘积,我们要引入斜对称的k形式,就需要增加一个运算A,而A的运算本质是通过行列式的组织,而这个和外积的运算刚好对应,所以外积可以看成A的一种。那么我们把k个外积相乘,可以看成k形式加斜对称。

从另一个角度说,我们认为k形式可以这么表示:

 

如果L是个斜对称形式,那么可以进一步简化:

 

从这个过程,我们也能看到为什么斜对称的k形式可以变成一堆外积来表示。

 这一段现在仔细看有不同的体会,首先我们知道微分k形式它是一个斜对称的k形式,所以能分解成坐标形式。所以,我们知道了,所有微分k形式,都可以用最简的坐标的微分1形式外积而成,他们的线性组合。

 这一段也终于看明白了,微分1形式,功形式,在笛卡尔坐标系下,ai(x)就是Fi本身,因为那是标准正交基。df方向导数也可以看成梯度的微分1形式。

这里是外微分的定义,应该是后面为了多元微积分一起弄的铺垫吧。

 

d(dx1)=0 

 梯度表示怎么流的最快,外微分一次,就变成了怎么旋转的最快,而散度就是说发散的快还是聚拢的快。

这里是后拉算子,其实就是对偶空间下的算子。对于U->V的映射,可以变成V->U的反向映射,而且满足一定的数量关系。对于微分p形式,额对应了这样的后拉算子。

 

 这是线性和复合函数求导法则的结果。

 这是最重要的一道题了。坐标记法,坐标形式,就是我们把具体的向量用坐标和基的组合表示出来。然后抽取出映射的重叠部分即可。比如w,它的坐标记法我们前面说了:

 现在我们就把对应的映射变换会导致坐标形式上的变换想一下:

其实就是换元法。本来是x1,x2为未知数,现在知道x=x(t),要换成t作为未知数。因为我们需要的是dx1,dx2并不是直接的x,所以他是V上的微分形式,所以我们要看用拉回,能把微分形式变成什么。

首先微分形式是作用在切空间的,所以我们取的也是切空间。这里取的是两个向量,因为最终只是二维曲面的相互转化。然后根据映射的导数,可以得到对应V中的切向量。因为我们要知道的坐标表示,肯定要写出坐标的形式。

后面都是计算了。

 

证明d(df)=0:

 

 终于看完了初步形式,继续流形上的积分

 这里理解下就好了,对于图册没有重复覆盖的点,那么函数集合就是一个,里面就是1,对于重复覆盖的点,比如有两个图册覆盖了,那么每个分0.5就行了。

 

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