傅里叶级数公式及其收敛问题

文章目录

abstract

  • 傅里叶级数公式及其收敛问题
  • 介绍周期为 2 π 2\pi 2π的情形下,函数的傅里叶级数公式
  • 至于一般周期,可转化为 2 π 2\pi 2π周期进行讨论,并得出相应公式(另见它文)

函数展开成傅里叶系数

  • f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,且能展开为三角级数式(6),即 f ( x ) f(x) f(x)= a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}) 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)
  • 这就产生了一个重要问题,如何计算式(6)中的系数 a n , b n a_{n},b_n an,bn,或说确定 a n , b n a_n,b_n an,bn关于 f ( x ) f(x) f(x)的表达式
  • 上述两个系数称为傅里叶系数

傅里叶系数

  • 利用三角函数系的正交性质等式组,并结合积分计算,可以得出傅里叶级数展开公式的系数公式

    • a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x a0=π1ππf(x)dx(7)
    • a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x , ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}dx,(n=0,1,2,...) an=π1ππf(x)cos(nx)dx,(n=0,1,2,...)(8)
      • 式(7)可以并入式(8),因为当 n = 0 n=0 n=0时,式(8)恰好是式(7)
    • b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x , ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) b_n=\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}dx},(n=1,2,3,...) bn=π1ππf(x)sin(nx)dx,(n=1,2,3,...)(9)
  • 具体的推导过程如下

    • 首先求 a 0 a_0 a0的公式
    • 再求 a n , b n a_n,b_n an,bn的公式
求解 a 0 a_0 a0
  • 假设上式右端级数可以逐项积分,则:

  • ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x + ∫ − π π ∑ k = 1 ∞ ( a k cos ⁡ k x + b k sin ⁡ k x ) d x = a 0 π + ∑ k = 1 ∞ ( ∫ − π π a k cos ⁡ k x d x + ∫ − π π b k sin ⁡ k x d x ) = a 0 π + ∑ k = 1 ∞ ( a k ∫ − π π cos ⁡ k x d x + b k ∫ − π π sin ⁡ k x d x ) = a 0 π \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x =&\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x +\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=1}^{\infin}(a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx})\mathrm{d}x \\ =&a_0\pi+\sum_{k=1}^{\infin} \left( \int_{-\pi}^{\pi}a_k\cos{kx}\;\mathrm{d}x +\int_{-\pi}^{\pi}b_k\sin{kx}\;\mathrm{d}x \right) \\=&a_0\pi+\sum_{k=1}^{\infin} \left( a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\;\mathrm{d}x +b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\;\mathrm{d}x \right) \\=&a_0\pi \end{aligned} ππf(x)dx====ππ2a0dx+ππk=1(akcoskx+bksinkx)dxa0π+k=1(ππakcoskxdx+ππbksinkxdx)a0π+k=1(akππcoskxdx+bkππsinkxdx)a0π

    • 上述计算中用到正交性质: ∫ − π π cos ⁡ k x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\;\mathrm{d}x=0 ππcoskxdx=0; ∫ − π π sin ⁡ k x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\;\mathrm{d}x=0 ππsinkxdx=0
  • 即得式 a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x a0=π1ππf(x)dx,即(7)

求解 a n a_n an
  • 对式(6)两边同时乘以 cos ⁡ n x \cos{nx} cosnx

    • f ( x ) cos ⁡ n x f(x)\cos{nx} f(x)cosnx= a 0 2 cos ⁡ n x + ∑ k = 1 ∞ a k cos ⁡ k x cos ⁡ n x + b k sin ⁡ k x cos ⁡ n x \frac{a_0}{2}\cos{nx}+\sum_{k=1}^{\infin}a_k\cos{kx}\cos{nx}+b_k\sin{kx}\cos{nx} 2a0cosnx+k=1akcoskxcosnx+bksinkxcosnx
  • 两边做区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上的积分:

    • ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\;\mathrm{d}x ππf(x)cosnxdx
      • = a 0 2 ∫ − π π cos ⁡ n x d x \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\;\mathrm{d}x 2a0ππcosnxdx+ ∑ k = 1 ∞ ( a k ∫ − π π cos ⁡ k x cos ⁡ n x d x + b k ∫ − π π sin ⁡ k x cos ⁡ n x d x ) \sum_{k=1}^{\infin} \left(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\cos{nx}\;\mathrm{d}x +b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\cos{nx}\;\mathrm{d}x \right) k=1(akππcoskxcosnxdx+bkππsinkxcosnxdx)
      • = 0 + a n ∫ − π π cos ⁡ n x cos ⁡ n x d x + 0 0+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\cos{nx}\;\mathrm{d}x+0 0+anππcosnxcosnxdx+0
      • = a n ∫ − π π cos ⁡ 2 n x d x a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{nx}\;\mathrm{d}x anππcos2nxdx= a n π a_{n}\pi anπ
    • 可得 a n a_n an= 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\;\mathrm{d}x π1ππf(x)cosnxdx, ( n = 1 , 2 , ⋯ ) (n=1,2,\cdots) (n=1,2,),即式(8)
  • n = 0 n=0 n=0时,式(8)恰好为式(7)

求解 b n b_n bn
  • 类似于 a n a_n an的求解过程,对式(6)两边同时乘以 sin ⁡ n x \sin{nx} sinnx,得
    • f ( x ) sin ⁡ n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx= a 0 2 sin ⁡ n x \frac{a_0}{2}\sin{nx} 2a0sinnx+ ∑ k = 1 ∞ a k cos ⁡ k x sin ⁡ n x + b k sin ⁡ k x sin ⁡ n x \sum_{k=1}^{\infin}a_k\cos{kx}\sin{nx}+b_k\sin{kx}\sin{nx} k=1akcoskxsinnx+bksinkxsinnx
  • 类似于 a n a_n an的求解过程,对式(6)两边同时乘以 sin ⁡ n x \sin{nx} sinnx,得
    • f ( x ) sin ⁡ n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx= a 0 2 sin ⁡ n x \frac{a_0}{2}\sin{nx} 2a0sinnx+ ∑ k = 1 ∞ a k cos ⁡ k x sin ⁡ n x + b k sin ⁡ k x sin ⁡ n x \sum_{k=1}^{\infin}a_k\cos{kx}\sin{nx}+b_k\sin{kx}\sin{nx} k=1akcoskxsinnx+bksinkxsinnx
  • 再对两侧求 − π -\pi π π \pi π积分,得:
    • b n b_n bn= 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx π1ππf(x)sinnxdx ( n = 1 , 2 , ⋯ ) (n=1,2,\cdots) (n=1,2,),即式(9)
小结
  • { a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x , ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x , ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) \begin{cases} a_n=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm dx,(n=\boxed{0},1,2,...) \\[10pt] b_n=\displaystyle\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm dx},(n=1,2,3,...) \end{cases} an=π1ππf(x)cos(nx)dx,(n=0,1,2,...)bn=π1ππf(x)sin(nx)dx,(n=1,2,3,...)

  • a 0 a_0 a0, a n , b n a_n,b_n an,bn, n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,称为傅里叶系数

傅里叶级数🎈

  • 若傅里叶系数都存在,即式(8,9)中的积分均存在,将傅里叶系数带入到三角级数式(6): f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infin} (a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}) f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)(10)
  • 该式称 f ( x ) f(x) f(x)傅里叶级数(Fuorier Series)

周期为 2 π 2\pi 2π的函数的fourier级数展开公式小结

  • 一个定义在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (,+)内周期为 2 π 2\pi 2π的函数,如果他在一个周期上可积分,那么就可以作出 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数

  • 该傅里叶级数的系数根据 f ( x ) f(x) f(x)的奇偶性分为:

  • f ( x ) 是奇函数 f(x)是奇函数 f(x)是奇函数 f ( x ) 是偶函数 f(x)是偶函数 f(x)是偶函数
    a n , n = 0 , 1 , 2 , . . . a_n,n=0,1,2,... an,n=0,1,2,...0 2 π ∫ − π 0 f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x π2π0f(x)cos(nx)dx
    b n , n = 1 , 2 , 3 , . . . b_n,n=1,2,3,... bn,n=1,2,3,... 2 π ∫ − π 0 f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π2π0f(x)sin(nx)dx0
    Fourier Series of f ( x ) f(x) f(x) ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ ( n x ) \sum\limits_{n=1}^{\infin}b_n\sin{(nx)} n=1bnsin(nx) ∑ n = 0 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) \sum\limits_{n=0}^{\infin}a_n\cos{(nx)} n=0ancos(nx)= a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infin}a_n\cos{(nx)} 2a0+n=1ancos(nx)
  • f ( x ) f(x) f(x)是奇函数时

    • f ( x ) cos ⁡ n x f(x)\cos{nx} f(x)cosnx是奇函数, a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x an=π1ππf(x)cos(nx)dx=0

    • f ( x ) sin ⁡ n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx是偶函数, b n b_n bn= 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π1ππf(x)sin(nx)dx= 2 π ∫ − π 0 f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π2π0f(x)sin(nx)dx= 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π20πf(x)sin(nx)dx

  • f ( x ) f(x) f(x)是偶函数时:

    • f ( x ) cos ⁡ n x f(x)\cos{nx} f(x)cosnx是偶函数, a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x an=π1ππf(x)cos(nx)dx= 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x π20πf(x)cos(nx)dx
    • f ( x ) sin ⁡ n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx是奇函数, b n b_n bn= 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π1ππf(x)sin(nx)dx=0
  • 需要注意的是, f ( x ) f(x) f(x)必须有对称的定义域才可以使用上述公式,而不能够仅仅判断 f ( − x ) = ± f ( x ) f(-x)=\pm f(x) f(x)=±f(x)就认为 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数/偶函数

  • 另外注意这里的积分限 ∫ 0 π \int_{0}^{\pi} 0π不同于 ∫ − π π \int_{-\pi}^{\pi} ππ

三角级数收敛问题

  • 如同讨论幂级数时一样,这里也要讨论三角级数(1)的收敛问题
  • 以及给定周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,如何把它展开成三角级数(1)
  • 一个定义在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (,+)上周期为 2 π 2\pi 2π的函数 f ( x ) f(x) f(x)
    • 若它在一个周期上可积,那么一定可以作出 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 F F F
    • 然而 F F F不一定收敛,且 F F F即使收敛也不一定收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
  • f ( x ) f(x) f(x)需要满足一定条件,它对应的傅里叶级数 F F F才会收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
    • 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)给出这方面的结论

Dirichlet收敛定理

  • f ( x ) f(x) f(x)是周期 2 π 2\pi 2π的周期函数,若它满足在一个周期内
    • 连续或只有有限个第一类间断点
    • 至多只有有限个极值点
  • 那么 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 F F F收敛
    • x x x f ( x ) f(x) f(x)的连续点时, F F F收敛于 f ( x ) f(x) f(x)(11)
    • x x x f ( x ) f(x) f(x)的间断点时, F F F收敛于 1 2 ( f ( x − ) + f ( x + ) ) \frac{1}{2}(f(x^{-})+f(x^{+})) 21(f(x)+f(x+))(12),即左极限和右极限的算术平均值
  • Note:第一类间断点的左右极限都存在,事实上连续可以理解为左右极限都等于 f ( x ) f(x) f(x) x x x处的取值;因此用公式(12)计算连续情形得到的结果和公式(11)相同)
  • 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多
    • C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 ( f ( x − ) + f ( x + ) ) } C=\set{x|f(x)=\frac{1}{2}(f(x^{-})+f(x^{+}))} C={xf(x)=21(f(x)+f(x+))}
    • C C C上成例 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式 f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx} f(x)=2a0+n=1ancosnx+bnsinnx, x ∈ C x\in{C} xC

  • f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,它在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π)上的表达式为
    • f ( x ) f(x) f(x)= − 1 -1 1, ( x ∈ [ − π , 0 ) ) (x\in[-\pi,0)) (x[π,0));
    • f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1, x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x[0,π)
  • f ( x ) f(x) f(x)展开为傅里叶级数 F F F

  • (1):敛散性

    • f ( x ) f(x) f(x)满足Dirichlet收敛定理条件,从而 F F F会收敛
    • F F F k π k\pi , k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ处有跳跃间断点,分别有 − 1 → 1 ; 1 → − 1 -1\to{1};1\to{-1} 11;11, F F F分别收敛于 − 1 + 1 2 = 0 \frac{-1+1}{2}=0 21+1=0; 1 + ( − 1 ) 2 = 0 \frac{1+(-1)}{2}=0 21+(1)=0,可见任何间断点都收敛于 0 0 0
    • F F F x ≠ k π x\neq{k\pi} x=时,级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
  • (2):傅里叶级数的系数

    • a n a_{n} an= 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx} \mathrm{d}x π1ππf(x)cosnxdx

      • 这里 f ( x ) f(x) f(x)是分段函数,因此我们要分段积分:
      • a n a_{n} an= 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) cos ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(-1)\cos{nx} \mathrm{d}x π1π0(1)cosnxdx+ 1 π ∫ 0 π 1 ⋅ cos ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\cos{nx} \mathrm{d}x π10π1cosnxdx= 0 0 0, n ∈ Z n\in\mathbb{Z} nZ
    • b n b_{n} bn= 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx} \mathrm{d}x π1ππf(x)sinnxdx= 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) sin ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin{nx} \mathrm{d}x π1π0(1)sinnxdx+ 1 π ∫ 0 π 1 ⋅ sin ⁡ n x d x \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin{nx} \mathrm{d}x π10π1sinnxdx

      • = 1 π ( − 1 n ( − cos ⁡ n x ) ∣ − π 0 + 1 n ( − cos ⁡ n x ) ∣ 0 π ) \frac{1}{\pi}(-\frac{1}{n}(-\cos{nx})|_{-\pi}^{0}+\frac{1}{n}(-\cos{nx})|_{0}^{\pi}) π1(n1(cosnx)π0+n1(cosnx)0π)
        • = 1 n π ( 1 − cos ⁡ n π − ( cos ⁡ n π − 1 ) ) \frac{1}{n\pi}(1-\cos{n\pi}-(\cos{n\pi}-1)) 1(1cos(cos1))= 1 n π ( 2 − 2 cos ⁡ n π ) \frac{1}{n\pi}(2-2\cos{n\pi}) 1(22cos)= 2 n π ( 1 − cos ⁡ n π ) \frac{2}{n\pi}(1-\cos{n\pi}) 2(1cos)
        • = 2 n π ( 1 − ( − 1 ) n ) \frac{2}{n\pi}(1-(-1)^{n}) 2(1(1)n)
      • b n b_{n} bn= 4 n π \frac{4}{n\pi} 4, n = 1 , 3 , 5 , ⋯ n=1,3,5,\cdots n=1,3,5,
      • b n b_n bn= 0 0 0, n = 2 , 4 , ⋯ n=2,4,\cdots n=2,4,
    • 将系数 a n a_n an, b n b_n bn代入三角级数(6),得 f ( x ) f(x) f(x)= 0 + ∑ n = 1 ∞ ( 0 + b n sin ⁡ n x ) 0+\sum_{n=1}^{\infin}(0+b_n\sin{nx}) 0+n=1(0+bnsinnx)= 4 π sin ⁡ x + 0 + 4 3 π sin ⁡ 3 x + ⋯ \frac{4}{\pi}\sin{x}+0+\frac{4}{3\pi}\sin{3x}+\cdots π4sinx+0+3π4sin3x+= 4 π ( sin ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 3 x + ⋯ ) \frac{4}{\pi}(\sin{x}+\frac{1}{3}\sin{3x}+\cdots) π4(sinx+31sin3x+)= 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − 1 sin ⁡ ( 2 n − 1 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infin} \frac{1}{2n-1}\sin{(2n-1)} π4n=12n11sin(2n1)

      − ∞ < x < + ∞ -\infin<x<+\infin <x<+, x ∉ Z x\notin{\mathbb{Z}} x/Z

  • 通过绘制 f ( x ) f(x) f(x)的图形可以发现,该图形为矩形波,(周期 T = 2 π T=2\pi T=2π,振幅 E = 1 E=1 E=1,自变量 x x x表示时间),那么 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式表明,矩形波可由一系列不同频率正弦波叠加而成,且这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/152780.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

自动化运维中间件架构概况

自动化运维中间件架构概况 kubernetesjenkins 安装k8s后 设置 Jenkins 任务: 在 Jenkins 中创建一个新的任务&#xff1a; 配置源代码管理&#xff1a;选择 Git&#xff0c;并提供 GitLab 仓库的 URL、凭据和分支信息。配置构建步骤&#xff1a;选择 Maven 构建&#xff0c;…

集合的自反关系和对称关系

集合的自反关系和对称关系 一&#xff1a;集合的自反关系1&#xff1a;原理&#xff1a;2&#xff1a;代码实现 二&#xff1a;对称关系1&#xff1a;原理&#xff1a;2&#xff1a;代码实现 三&#xff1a;总结 一&#xff1a;集合的自反关系 1&#xff1a;原理&#xff1a; …

【python】直方图正则化详解和示例

直方图正则化&#xff08;Histogram Normalization&#xff09;是一种图像增强技术&#xff0c;目的是改变图像的直方图以改善图像的质量。具体来说&#xff0c;它通过将图像的直方图调整为指定的形状&#xff0c;以增强图像的对比度和亮度。 直方图正则化的基本步骤如下&…

【Android Jetpack】Hilt的理解与浅析

文章目录 依赖注入DaggerHiltKoin添加依赖项Hilt常用注解的含义HiltAndroidAppAndroidEntryPointInjectModuleInstallInProvidesEntryPoint Hilt组件生命周期和作用域如何使用 Hilt 进行依赖注入 本文只是进行了简单入门&#xff0c;博客仅当做笔记用。 依赖注入 依赖注入是一…

某60区块链安全之不安全的随机数实战二学习记录

区块链安全 文章目录 区块链安全不安全的随机数实战二实验目的实验环境实验工具实验原理实验内容EXP利用 不安全的随机数实战二 实验目的 学会使用python3的web3模块 学会以太坊不安全的随机数漏洞分析及利用 实验环境 Ubuntu18.04操作机 实验工具 python3 实验原理 由…

吴恩达《机器学习》9-1:代价函数

一、引入新标记方法 首先&#xff0c;引入一些新的标记方法&#xff0c;以便更好地讨论神经网络的代价函数。考虑神经网络的训练样本&#xff0c;其中每个样本包含输入 x 和输出信号 y。我们用 L 表示神经网络的层数&#xff0c;表示每层的神经元个数&#xff08;表示输出层神…

CISP练习测试题

免责声明 文章仅做经验分享用途,切勿当真,未授权的攻击属于非法行为!利用本文章所提供的信息而造成的任何直接或者间接的后果及损失,均由使用者本人负责,作者不为此承担任何责任,一旦造成后果请自行承担!!! 某公司准备在业务环境中部署一种新的计算机产品,下列哪一项…

基于单片机GPS轨迹定位和里程统计系统

**单片机设计介绍&#xff0c; 基于单片机GPS轨迹定位和里程统计系统 文章目录 一 概要二、功能设计设计思路 三、 软件设计原理图 五、 程序六、 文章目录 一 概要 一个基于单片机、GPS和里程计的轨迹定位和里程统计系统可以被设计成能够在移动的交通工具中精确定位车辆的位置…

Spring Boot - 自定义注解来记录访问路径以及访问信息,并将记录存储到MySQL

1、准备阶段 application.properties&#xff1b;yml 可通过yaml<互转>properties spring.datasource.urljdbc:mysql://localhost:3306/study_annotate spring.datasource.usernameroot spring.datasource.password123321 spring.datasource.driver-class-namecom.mysq…

论x巴克app签名的逆向分析过程《完整篇》

app地址—> 点击直达 密码&#xff1a;2fkq工具 jadx-gui 自己下载待定

短视频账号矩阵系统saas管理私信回复管理系统

一、短视频矩阵号系统源码开发层面如何来解决&#xff1f; 1.短视频矩阵号系统源码搭建中&#xff0c;首先开发者需要保证api接口的稳定性 &#xff0c;保证权限应用场景满足官方平台的开发预期。api---待发布、用户管理与授权绑定、私信回复与评论管理等是非常重要的权限接口。…

【论文阅读】MAG:一种用于航天器遥测数据中有效异常检测的新方法

文章目录 摘要1 引言2 问题描述3 拟议框架4 所提出方法的细节A.数据预处理B.变量相关分析C.MAG模型D.异常分数 5 实验A.数据集和性能指标B.实验设置与平台C.结果和比较 6 结论 摘要 异常检测是保证航天器稳定性的关键。在航天器运行过程中&#xff0c;传感器和控制器产生大量周…

苹果CMS首涂第30套可装修DIY主题模板免授权版

这是一款可以装修的主题&#xff0c;类似淘宝店装修一样&#xff0c;可以针对首页、栏目页、详情页、播放页进行自定义装修&#xff0c;内置10个模块自由选择、添加、修改、删除、排序操作&#xff0c;后续升级还会增加更多实用和个性模块供选择&#xff0c;主题内包含的导航、…

C语言的5个内存段你了解吗?( 代码段/数据段/栈/堆)

前言&#xff1a;这些内存段在程序运行时起着不同的作用&#xff0c;有不同的分配方式和存储内容。对于 C 语言程序员来说&#xff0c;了解这些内存段的特性和用途有助于更好地理解内存管理、变量的存储位置以及程序执行过程中的内存分配情况 1. 代码段 (Code Segment) 内容&a…

Actor对象的引用 怎么设置他的材质?或设置是否启用重力?

这个蓝图我是想当重叠触发,将另一个Target Actor(一个球体)设置他的z增加50,但是为什么在触发的时候会抽搐?而且我想要设置他的材质等等这些属性都不行

什么是希尔伯特空间?

照片由 丹克里斯蒂安佩杜雷什 on Unsplash 一、说明 在本文中&#xff0c;我们将探讨希尔伯特空间这个非常重要的主题。希尔伯特空间由于其特性而经常出现在物理和工程中。为了理解希尔伯特空间&#xff0c;我们从度量空间的定义开始。 二、基础概念 集合是定义明确的元素的集合…

Flutter 使用 device_info_plus 遇到的问题

问题&#xff1a;引用device_info_plus 插件出现了异常&#xff0c;不知道为啥打开项目的时候就不能用了。 解决&#xff1a;改了版本解决 Target of URI doesnt exist: package:device_info_plus/device_info_plus.dart. (Documentation) Try creating the file reference…

广州华锐互动VRAR | VR课件内容编辑器解决院校实践教学难题

VR课件内容编辑器由VR制作公司广州华锐互动开发&#xff0c;是一款专为虚拟现实教育领域设计的应用&#xff0c;它能够将传统的教学内容转化为沉浸式的三维体验。通过这款软件&#xff0c;教师可以轻松创建和编辑各种虚拟场景、模型和动画&#xff0c;以更生动、直观的方式展示…

kafka本地安装报错

Error: VM option ‘UseG1GC’ is experimental and must be enabled via -XX:UnlockExperimentalVMOptions. #打开 bin/kafka-run-class.sh KAFKA_JVM_PERFORMANCE_OPTS“-server -XX:UseG1GC -XX:MaxGCPauseMillis20 -XX:InitiatingHeapOccupancyPercent35 -XX:ExplicitGCInv…

基于安卓android微信小程序的好物分享系统

运行环境 开发语言&#xff1a;Java 框架&#xff1a;ssm JDK版本&#xff1a;JDK1.8 服务器&#xff1a;tomcat7 数据库&#xff1a;mysql 5.7&#xff08;一定要5.7版本&#xff09; 数据库工具&#xff1a;Navicat11 开发软件&#xff1a;eclipse/myeclipse/idea Maven包&a…