什么是希尔伯特空间?

照片由 丹·克里斯蒂安·佩杜雷什 on Unsplash

一、说明

        在本文中,我们将探讨希尔伯特空间这个非常重要的主题。希尔伯特空间由于其特性而经常出现在物理和工程中。为了理解希尔伯特空间,我们从度量空间的定义开始。

二、基础概念

        集合是定义明确的元素的集合。虽然集合本身可能不是很有用,但它们提供了一个非常强大的框架,可以通过笛卡尔积等操作系统地研究更复杂的对象。集合通常使用大写字母表示。

2.1 什么是度量空间

        考虑一个任意非空集合 M。定义具有以下属性的操作 d

  • d(x,y) 是一个实数。从形式上讲,d 是一个 Mapping:

  • 非负性质:d(x,y) ≥ 0
  • d(x,y) = 0 iff x=y
  • 对称性:d(x,y) = d(y,x)
  • 三角不等式 d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y)

其中 x、y 和 z 是 M 的元素。配备有这种运算 d 的集合 M 称为度量空间,表示为 (M,d)。

d 有时被称为距离。

应该注意的是,M 本身不是一个度量空间,因为 d 必须单独定义。

示例:考虑实数 R 的集合。 d₁ 和 d₂ 都是有效的指标。 d₂ 可能看起来很奇怪,但仍然有效。

通常,指标是从上下文中理解的,例如实数集。

自定义指标的常见示例是机器学习算法(如 K 最近邻)中使用的距离度量。

2.2 完整的空间

        度量空间中的序列 xn 是从自然数集到度量空间 X 元素的映射。也就是说,它是属于 X 的元素的有序序列。

        柯西序列是元素在度量意义上不断靠拢的序列 d。从形式上讲,每个 r > 0 都存在一些 N,因此:

        如果在 (X, d) 上定义的每个柯西序列 xn 收敛到 (X, d) 中的元素,则度量空间 (X, d) 是完整的。也就是说,取 (X, d) 上柯西的所有可能序列,如果它们最终收敛到 (X, d) 中的元素,则它是一个完整的空间。

2.3 不完整空间示例

        考虑 Rational Numbers 的度量空间,其中度量为 |x-y|。柯西序列

        收敛到 e,它不是 X 的元素。因此,有理数序列x【n】不是完备序列,就是说,序列x【n】从有理数集合虽然有极限,但极限不在有理数集合范围内。

        如图表示不完备性:就是有理数中的一个数列,按某个运算法则,其结果从有道理集合跑到集合之外。这种现象称为不完备。

三、线性空间

标量 Field 上的线性空间 V 是定义加法和标量乘法运算的集合。总结一下:

  • 元素添加是交换的和关联的。
  • 两个加法都存在一个恒等元素 O。
  • 存在加法逆。
  • 标量乘法是加法的、分配的和关联的。

        请注意,在工程和物理中,矢量空间和线性空间是同义词。有关属性的更好说明,请参阅此链接。

请注意,字段是定义了 +、* 的代数结构。

3.1 规范线性空间

        规范 ||.||线性空间 V 是一个函数,它将集合的元素映射到具有以下属性的实数:

        其中 x 是 V 的一个元素。配备范数的线性空间称为范数线性空间。由于函数 ||x-y||满足度量的属性,它是规范线性空间的自然度量。也就是说,规范线性空间始终是度量空间。当然,其他指标也可能是可能的。

        范数是一种量级。

3.2 巴纳赫空间

        如果度量 || 的范数线性空间 (X, ||.||) 是完整的x-y||,则称为 Banach 空间。

现在,我们可以定义希尔伯特空间。

四、内积空间

        给定线性空间 X,内积 <x,y> 是具有以下属性的运算:

        其中 x、y 和 z 是 X 的元素。具有定义内积的线性空间称为内积空间。请注意,内部产品空间的可能规范是:

        因此,每个内积空间也是一个规范线性空间。

五、希尔伯特空间

        下标完备的内积空间:

        被称为希尔伯特空间。

     

        在数学里,希尔伯特空间(英语:Hilbert space)即完备的内积空间,也就是一个带有内积的完备向量空间。内积的构造推广了欧几里得空间的距离和角的概念;完备则确保了其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点,从而微积分中的许多概念都可以推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式,而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要数学基础之一。

西诺皮奥

 

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/152763.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Flutter 使用 device_info_plus 遇到的问题

问题&#xff1a;引用device_info_plus 插件出现了异常&#xff0c;不知道为啥打开项目的时候就不能用了。 解决&#xff1a;改了版本解决 Target of URI doesnt exist: package:device_info_plus/device_info_plus.dart. (Documentation) Try creating the file reference…

广州华锐互动VRAR | VR课件内容编辑器解决院校实践教学难题

VR课件内容编辑器由VR制作公司广州华锐互动开发&#xff0c;是一款专为虚拟现实教育领域设计的应用&#xff0c;它能够将传统的教学内容转化为沉浸式的三维体验。通过这款软件&#xff0c;教师可以轻松创建和编辑各种虚拟场景、模型和动画&#xff0c;以更生动、直观的方式展示…

kafka本地安装报错

Error: VM option ‘UseG1GC’ is experimental and must be enabled via -XX:UnlockExperimentalVMOptions. #打开 bin/kafka-run-class.sh KAFKA_JVM_PERFORMANCE_OPTS“-server -XX:UseG1GC -XX:MaxGCPauseMillis20 -XX:InitiatingHeapOccupancyPercent35 -XX:ExplicitGCInv…

基于安卓android微信小程序的好物分享系统

运行环境 开发语言&#xff1a;Java 框架&#xff1a;ssm JDK版本&#xff1a;JDK1.8 服务器&#xff1a;tomcat7 数据库&#xff1a;mysql 5.7&#xff08;一定要5.7版本&#xff09; 数据库工具&#xff1a;Navicat11 开发软件&#xff1a;eclipse/myeclipse/idea Maven包&a…

ModernCSS.dev - 来自微软前端工程师的 CSS 高级教程,讲解如何用新的 CSS 语法来解决旧的问题

今天给大家安利一套现代 CSS 的教程&#xff0c;以前写网页的问题&#xff0c;现在都可以用新的写法来解决了。 ModernCSS.dev 是一个现代 CSS 语法的教程&#xff0c;讲解新的 CSS 语法如何解决一些传统问题&#xff0c;一共有30多课。 这套教程的作者是 Stephanie Eckles&am…

【开源】基于JAVA的校园二手交易系统

项目编号&#xff1a; S 009 &#xff0c;文末获取源码。 \color{red}{项目编号&#xff1a;S009&#xff0c;文末获取源码。} 项目编号&#xff1a;S009&#xff0c;文末获取源码。 目录 一、摘要1.1 项目介绍1.2 项目录屏 二、功能模块2.1 数据中心模块2.2 二手商品档案管理模…

汇编-loop循环指令

LOOP指令是根据ECX计数器循环&#xff0c;将语句块重复执行特定次数。 ECX自动作为计数器&#xff0c; 每重复循环一次就递减1。 语法如下所示&#xff1a; 循环目的地址必须在距离当前位置计数器的-128到127字节范围内 LOOP指令的执行有两个步骤&#xff1a; 第一步&…

【Linux】软连接和硬链接:创建、管理和解除链接的操作

文章目录 1. 软链接和硬链接简介2. Linux软链接使用方法3. Linux硬链接使用方法4. 总结 1. 软链接和硬链接简介 什么是软链接 软链接(Symbolic Link),也称为符号链接,是包含了源文件位置信息的特殊文件。它的作用是间接指向一个文件或目录。如果软链接的源文件被删除或移动了,软…

记录--alova组件使用方法(区别axios)

这里给大家分享我在网上总结出来的一些知识&#xff0c;希望对大家有所帮助 在我们写项目代码时&#xff0c;应该更加专注于业务逻辑的实现&#xff0c;而把定式代码交给js库或工程化自动处理&#xff0c;而我想说的是&#xff0c;请求逻辑其实也是可以继续简化的。 你可能会说…

【C++】使用std::vector()函数实现矩阵的加、减、点乘、点除等运算

本文通过vector&#xff08;&#xff09;函数表示矩阵的形式&#xff0c;对 加、减、点乘、点除等运算进行编码和运行&#xff0c;相应结果如下文所述。 #include <iostream> #include <vector>using namespace std;// 矩阵加法 vector<vector<int>> …

万字长文 - Python 日志记录器logging 百科全书 - 高级配置之 日志分层

万字长文 - Python 日志记录器logging 百科全书 - 高级配置之 日志分层 前言 在 Python 的logging模块中&#xff0c;它不仅提供了基础的日志功能&#xff0c;还拥有一系列高级配置选项来满足复杂应用的日志管理需求。 说到logging 模块的高级配置&#xff0c;必须提及日志分…

Linux latin1字符集转成UTF-8

latin1字符集&#xff0c;我用命令iconv转换后依旧乱码&#xff0c;但是本地用Notepad转成utf-8再入库数据&#xff0c;却是正常的 查看文件编码 vi WeakcoverReason_20231120.csv:set fileencoding使用编码转换命令&#xff0c;将latin1改成UTF-8 iconv -f latin1 -t UTF-8 W…

初始环境配置

目录 一、JDK1、简介2、配置步骤 二、Redis1、简介2、配置步骤 三、MySQL1、简介2、配置步骤 四、Git1、简介2、配置步骤 五、NodeJS1、简介2、配置步骤 六、Maven1、简介2、配置步骤 七、Tomcat1、简介2、配置步骤 一、JDK 1、简介 JDK 是 Oracle 提供的 Java 开发工具包&…

linux rsyslog综合实战1

本次我们通过rsyslog服务将A节点服务器上的单个日志(Path:/var/log/245-1.log)实时同步到B节点服务器目录下(Path:/opt/rsyslog/245) 1.rsyslog架构 2.环境信息 环境信息 HostnameIpAddressOS versionModuleNotersyslog1192.168.10.245CentOS Linux release 7.9.2009 (Core)rs…

类与对象(上篇)

前言 在之前我们学的C入门主要是为现在学习类与对象打基础&#xff0c;今天我们才算真正开始学习C了。因为类与对象的知识点比较多&#xff0c;所以我们将它分为三部分讲解&#xff0c;今天我们学习类与对象的上篇。 一、面向过程和面向对象的初步认识 1、面向过程 面向过程顾…

[github初学者教程] 分支管理-以及问题解决

作者&#xff1a;20岁爱吃必胜客&#xff08;坤制作人&#xff09;&#xff0c;近十年开发经验, 跨域学习者&#xff0c;目前于新西兰奥克兰大学攻读IT硕士学位。荣誉&#xff1a;阿里云博客专家认证、腾讯开发者社区优质创作者&#xff0c;在CTF省赛校赛多次取得好成绩。跨领域…

工作记录---为什么双11当天不能申请退款?(有趣~)

为什么&#xff1f; 服务降级了 服务降级&#xff1a; 当服务器压力剧增的情况下&#xff0c;根据实际业务情况及流量&#xff0c;对一些服务和页面有策略的不处理或换种简单的方式处理&#xff0c;从而释放服务器资源以保证核心交易正常运作或高效运作。 分布式系统的降级…

用Java实现贪吃蛇小游戏

一、创建新项目 首先创建一个新的项目&#xff0c;并命名为贪吃蛇。 其次在贪吃蛇项目下创建一个名为images的文件夹用来存放游戏相关图片。 然后再在项目的src文件下创建一个com.xxx.view的包用来存放所有的图形界面类&#xff0c;创建一个com.xxx.controller的包用来存放启…

基于AVR单片机的心电信号获取与分析

基于AVR单片机的心电信号获取与分析是一项常见的生物医学工程应用&#xff0c;用于监测和分析人体的心脏活动。本文将介绍基于AVR单片机的心电信号获取与分析的原理和设计&#xff0c;并提供相应的代码示例。 1. 概述 心电信号是记录和分析心脏电活动的重要手段。AVR单片机是…

mysql 中with的用法(3)

有表&#xff08;tb&#xff09;,数据如下&#xff1a; 请用SQL,生成如下的样式&#xff1a; 一、建表 CREATE TABLE tb (id varchar(3) DEFAULT NULL,pid varchar(3) DEFAULT NULL,name varchar(64) DEFAULT NULL ) INSERT INTO tb (id, pid, name) VALUES(002, 0, 浙江省)…