文章目录
- 一、算法原理
- 二、例题
- 2.1 最大子数组和
- 2.2 环形子数组的最大和
一、算法原理
Kadane's
算法是一种用于解决最大子数组和问题的动态规划算法。这类问题的目标是在给定整数数组中找到一个连续的子数组,使其元素之和最大(数组含有负数)。
算法的核心思想是通过迭代数组的每个元素,维护两个变量来跟踪局部最优解和全局最优解。
以下是Kadane’s算法的详细步骤:
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初始化:
- 令 maxEndingHere 表示在当前位置结束的最大子数组和,初始值为数组的第一个元素。
- 令 maxSoFar 表示全局最大子数组和,初始值也为数组的第一个元素。
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迭代:
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从数组的第二个元素开始迭代。
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对于每个元素,计算在当前位置结束的最大子数组和:
maxEndingHere = max(nums[i], maxEndingHere + nums[i]);
这表示要么继续当前子数组,要么从当前位置开始一个新的子数组。 -
更新全局最大子数组和:
maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere);
如果在当前位置结束的子数组和大于全局最大和,更新全局最大和。
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返回结果:
- 当迭代完成后,maxSoFar 中存储的即为最大子数组和。
复杂度:
- 时间复杂度:O(n),其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
- 空间复杂度:O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。
图例:
简要说明:(如过当前值比前面的局部最大值+当前值还大,那么就从当前值开始继续计算局部最大值)
- i=0,maxEndingHere 、maxSoFar 初始值都为数组第一个元素,-2;
- 开始循环,i=1,maxEndingHere = max(nums[1], maxEndingHere + nums[1]),即maxEndingHere = max(1, -2 + 1)=1,maxSoFar=1;
- i=2, maxEndingHere = max(nums[2], maxEndingHere + nums[2]),即maxEndingHere = max(-3, 1 - 3)=-2,maxSoFar=1;
- i=3,maxEndingHere = max(nums[3], maxEndingHere + nums[3]),即maxEndingHere = max(4, -2 + 4)=4,maxSoFar=4;
- …
二、例题
2.1 最大子数组和
解答:
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {int maxEndingHere = nums[0], maxSoFar = nums[0];for (int i = 1; i < numsSize; i++) {maxEndingHere = fmax(maxEndingHere + nums[i], nums[i]);maxSoFar = fmax(maxSoFar, maxEndingHere );}return maxSoFar;
}
fmax是<math.h>中的函数,用于比较2个数字的大小,双精度。
简单换个写法:
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {int maxEndingHere = nums[0], maxSoFar = nums[0];for (int i = 1; i < numsSize; i++) {maxEndingHere = maxEndingHere + nums[i]>nums[i]?maxEndingHere + nums[i]:nums[i];maxSoFar = maxSoFar>maxEndingHere?maxSoFar:maxEndingHere;}return maxSoFar;
}
简单用三目表达式代替fmax函数。
2.2 环形子数组的最大和
解答:
int maxSubarraySumCircular(int* nums, int numsSize) {if (nums == NULL || numsSize == 0) return 0;int maxSum = nums[0], minSum = nums[0];int maxCur = nums[0], minCur = nums[0];int sum = nums[0];for (int i = 1; i < numsSize; i++) {sum += nums[i];maxCur = fmax(nums[i], maxCur + nums[i]);minCur = fmin(nums[i], minCur + nums[i]);maxSum = fmax(maxSum, maxCur);minSum = fmin(minSum, minCur);}if (maxSum < 0) return maxSum; // 如果所有数都是负数,返回最大值return fmax(maxSum, sum - minSum); // 返回“不跨越头尾的最大子数组和”和“跨越头尾的最大子数组和”中的较大者
}