前言

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主要内容含：

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一.AVL树的概念

• 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证 每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 (需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
• 平衡因子是-1，左比右高1；平衡因子是1，右比左高1；平衡因子是0，左右一样高
• 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
  $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

二.AVL树节点的定义(代码演示)

• 除了基本的左右孩子节点与数据外，还需要引入平衡因子
• 由于平衡因子取决于左右子树相对高度，所以节点本身 要能够返回父亲节点 ——> 要设置指向父亲节点的指针
• 注意AVL树节点是三叉链

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的父亲节点T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

三.AVL树的基本操作：插入

• AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：
  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

• AVL树的插入过程：
• 与二叉搜索树同理，二叉搜索树博客传送门：https://blog.csdn.net/YYDsis/article/details/134374001?spm=1001.2014.3001.5501

• 平衡因子的变化步骤：

1. 新增在左，parent平衡因子减减
2. 新增在右，parent平衡因子加加
3. 平衡因子==0，高度不变，直接break
4. 平衡因子==1/-1，高度改变-> 会影响祖先 -> 需要继续沿着到根节点root的路径向上更新
5. 平衡因子==2/-2，高度改变＆ 树不再平衡 ->会影响祖先->需要对parent所在子树进行 旋转 操作，让其平衡 （旋转部分放在part4中详解）
6. 向上更新，直到根节点（根节点parent==0）

template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//2. 调整节点的平衡因子while (parent)//向上更新，直到根节点（根节点parent==0）{if (cur == parent->_left)// 1.新增在左，parent平衡因子减减{parent->_bf--;}else // if (cur == parent->_right){parent->_bf++;//2.新增在右，parent平衡因子加加}if (parent->_bf == 0)//3.平衡因子==0，高度不变，直接break{// 更新结束break;}//4.平衡因子==1/-1，高度改变-> 会影响祖先 -> 需要继续沿着到根节点root的路径向上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}//平衡因子==2/-2，高度改变＆ 树不再平衡 ->会影响祖先->//需要对parent所在子树进行 旋转 操作，让其平衡else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 子树不平衡了，需要旋转     （旋转部分为何这么设计放在part4中详解）if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}

四.AVL树的核心操作：旋转

• 根据part3中avl树的基本操作"插入"，以下情况会出现旋转
• 平衡因子==2/-2，高度改变＆ 树不再平衡 ->会影响祖先->需要对parent所在子树进行 旋转 操作，让其平衡 （旋转部分放在part4中详解）
• 所以一共有四种情况分别如下图所示：
• 旋转要注意以下三点：
  1. 保持这颗树还是搜索树
  2. 变成平衡树＆降低其高度
  3. 节点是三叉链的形式，旋转后要注意节点链接

【1】新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

• 分析：
• 如下图所示，新节点插入较高右子树的右侧时候，整体会发生“向左的单旋”

• 核心操作：
• cur的左给parent的右，parent再成为cur的左
  cur->_right = parent;
  parent->_parent = cur;

• 注意：节点是三叉链的形式，旋转后要注意节点链接
• 要设置 祖父节点pparent指向parent，parent的_parent节点指向parent
• 情况1：特殊情况，父母节点为根节点，空指向cur
• 情况2：正常情况，祖父节点指向cur

• 注意：平衡因子变化
• 观察以上图中变化可知，我们只需要 在最后将cur和parent都调整为0就行：
• parent->_bf = cur->_bf = 0;

• 代码展示：

void RotateL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;if (curleft){curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;//标记出祖父节点parent->_parent = cur;if (parent == _root)//特殊情况，父母节点为根节点，空指向cur{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else//正常情况，祖父节点指向cur{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}

【2】新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

• 相关细节与上面【1】中 “右右：左单旋” 一致，下面展示代码

• 代码展示：

void RotateR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright){curright->_parent = parent;}Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}

【3】新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋【双旋】

引入：

• 我们观察【1】【2】情况，其都是左左/右右，发生逆向的旋转（左左->往右转）（右右->往左转）
• 而【3】【4】这种双旋的情况呢？如下图所示，观察可以发现，当其是 新节点插入较高左子树的右侧时 ,形成了一个折线
  
• 进一步观察后，我们发现有 三种情况 会触发双旋,可以观察 curright的平衡因子 判断，分别是：
  1. curright就是新增节点 bf == 0
  2. b处新增节点 bf == -1
  3. c处新增节点 bf == 1

• 注意：平衡因子变化
• 我们根据 三种触发双旋的情况 ，对他们平衡因子变化进行分析
• 1. curright就是新增节点
  parent->_bf = 0;
  cur->_bf = 0;
  curright->_bf = 0;
  
• 2. b处新增节点
  parent->_bf = 0;
  cur->_bf = -1;
  curright->_bf = 0;
  
  3. c处新增节点
  parent->_bf = 1;
  cur->_bf = 0;
  curright->_bf = 0;
  

void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0)//1. curright就是新增节点 bf == 0{parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == -1)//2. b处新增节点 bf == -1{parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == 1)//3. c处新增节点 bf == 1{parent->_bf = 0;cur->_bf = -1;curright->_bf = 0;}}

• 注意：双旋的本质（表现）
• 1. 60的左边给了30的右边
• 2. 60的右边给了90的左边
• 3. 60成了这棵树的根
     

【4】新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋【双旋】

• 相关细节与上面【2】中 “左右：先左单旋再右单旋【双旋】” 一致，下面展示代码

• 代码展示：

void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){cur->_bf = 1;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

五.AVL树的验证

1. 验证其为二叉搜索树

• 如果其通过 中序遍历 可得到一个 有序 的序列，就说明为其为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

int Height(){return Height(_root);}
int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHight = Height(root->_left);int rightHight = Height(root->_right);if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" <<root->_kv.first<<"->"<< root->_bf << endl;return false;}return abs(rightHight - leftHight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}

六.AVL树的性能＆引入红黑树

• AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
  样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
  作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
  有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
  据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。 因此需要
  引入红黑树，传送门如下所示：

• 红黑树博客传送门：

七.AVL树的完整代码

#pragma once#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;  // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// ... 控制平衡// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else // if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){// 更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 子树不平衡了，需要旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateL(Node* parent){++_rotateCount;Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;if (curleft){curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){++_rotateCount;Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright)curright->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){cur->_bf = 1;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;cur->_bf = -1;curright->_bf = 0;}}int Height(){return Height(_root);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHight = Height(root->_left);int rightHight = Height(root->_right);if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" <<root->_kv.first<<"->"<< root->_bf << endl;return false;}return abs(rightHight - leftHight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;public:int _rotateCount = 0;
};