数据结构 堆

手写堆,而非stl中的堆

如何手写一个堆?

//将数组建成堆 <O(n)

for (int i = n / 2;i;i--) //从n/2开始down

down(i);

从n/2元素开始down,最下面一层元素的个数是n/2,其余上面的元素的个数是n/2,从最下面一层到最高层,每层元素的个数是n/2^m【m从下到上,从1计算,m=1时是最下面一层】,时间复杂度就是元素个数*高度【高度从下到上,从0计算】

性质

1.堆是一棵完全二叉树【除叶子结点之外,所有结点都是非空的】

2.小根堆:每个点的值都是小于等于其左右两个儿子的,根结点就是整个数据中的最小值

静态数组存储——一维数组

用一个一维数组来存,根结点放在数组开头,1号点是根结点,结点x的左儿子下标为2x,右儿子下标为2x+1

两个基本操作

对于所有的堆操作而言,每个操作都可以使用这两个操作构建。

down(x) 向下调整——从下往上down一次就变成一个堆

大数位于上面,需要向下移

每次与其两个儿子进行比较,找到较小的儿子与其进行交换,直到小于所有的儿子为止【该结点的子结点都大于该结点】

//递归实现

void down(int u) {

int t = u;//用t表示三个点中的最小值

if (u * 2 <= size1 && h[u * 2] < h[t])//先判断是否有左儿子,然后判断左儿子是否小于其本身,如果成立,交换

t = u * 2;

if (u * 2 + 1 <= size1 && h[u * 2 + 1] < h[t])//再判断是否有右儿子,然后判断右儿子是否小于其本身,如果成立,交换

t = u * 2 + 1;

//最终,t存的就是三个点中最小的结点编号

if (u != t) {//如果u!=t,说明根结点就不是最小的,需要交换

swap(h[u], h[t]);//交换

down(t);//递归,交换之前h[t]<=h[u],交换之后h[t]>h[u],h[t]中存的是大数,对其再进行down操作,即递归

}

return;

}

up(x) 向上调整

小数位于下面,需要向上移

每次只需要与其根结点比较,如果小于其根结点,就与其根结点进行交换,直到>=其根结点为止

//循环实现

void up(int u) {

while (u / 2 && h[u / 2] > h[u]) {//u的父结点为u/2,父结点存在且大于本身,交换

swap(h[u / 2], h[u]);

u = u / 2;

}

return;

}

操作

【前三最重要】

【下标从1开始】

1.向集合中插入一个数

在整个堆的最后一个位置插入,然后再向上调整

heap[++size]=x;

up(size);

2.求集合中的最小值

heap[1];

3.删除最小值

用整个堆的最后一个元素覆盖掉堆顶的元素,然后size--,然后向下调整

因为删去最后一个结点特别容易,而删除根结点却不易

heap[1]=heap[size];

size--;

down(1);

4.删除任意一个元素

用堆的最后一个结点覆盖该结点,然后size--,然后向下调整(变大)、向上调整(变小),二选一执行

heap[k]=heap[size];

size--;

down(k);//变大

up(k);//变小

5.修改任意一个操作

heap[k]=x;

down(k);//变大

up(k);//变小

例题——堆排序

题目描述

输入一个长度为n的整数数列,从小到大输出前m小的数。

输入格式

第一行包含整数n和m。

第二行包含n个整数,表示整数数列。

输出格式

共一行,包含m个整数,表示整数数列中前m小的数。

数据范围

1≤m≤n≤10^5,

1≤数列中元素≤10^9

输入样例

5 3

4 5 1 3 2

输出样例

1 2 3

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;

int h[N], size1;//h[N]就是heap[N],size1存储当前有多少个元素

int main() {

scanf("%d%d", &n, &m);

for (int i = 1;i <= n;i++)

scanf("%d", &h[i]);

size1 = n;

//将数组建成堆 <O(n)

for (int i = n / 2;i;i--) //从n/2开始down

down(i);

while (m--) {

printf("%d ", h[1]);//每次输出堆顶元素,并将其删去

h[1] = h[size1];

size1--;

down(1);

}

return 0;

}

例题——模拟堆[包含映射]

增加两个数组

使用两个数组维护两个映射关系,ph[k] 存第k个插入的点在堆中的下标,hp[k] 存堆中下标为k的点是第几个插入的点

增加的原因

因为按第几个插入元素更改内容,需要知道第i个插入的元素在堆中的下标,所以需要ph的存在,而因为元素在进行down与up操作时,使得ph内容与实际堆的元素不对应,所以要改变ph,而改变ph应该知道,每一个下标对应的插入元素是第几个,所以需要hp的存在。每次交换位置时应该共同维护这两个数组。

交换操作

void heap_swap(int a, int b) {

swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);//交换指向

swap(hp[a], hp[b]);

swap(h[a], h[b]);

return;

}

交换堆中的两个元素时,hp 和 ph 也改变。先改变 hp 和 ph 中的内容,然后改变这两个结点中的值。先根据交换的下标找到对应的 hp,并以两个 hp 元素值作为 ph 的下标,交换这2个 ph 元素值。之后根据下标交换 hp。

swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);为什么这里的ph的下标是hp的元素值而不是堆中元素的编号?

因为ph的下标k的含义【即ph[k]的k的含义】是第k个插入的点,所以我们要找到第k个插入的点而不是堆中下标为k的点。

改变后的操作

up 操作

手写的heap_swap函数代替原来的swap函数

void up(int u) {

while (u / 2 && h[u / 2] > h[u]) {//u的父结点为u/2,父结点存在且大于本身,交换

heap_swap(u / 2, u);

u = u / 2;

}

return;

}

down 操作

手写的heap_swap函数代替原来的swap函数

void down(int u) {

int t = u;//用t表示三个点中的最小值

if (u * 2 <= size1 && h[u * 2] < h[t])//先判断是否有左儿子,然后判断左儿子是否小于其本身,如果成立,交换

t = u * 2;

if (u * 2 + 1 <= size1 && h[u * 2 + 1] < h[t])//再判断是否有右儿子,然后判断右儿子是否小于其本身,如果成立,交换

t = u * 2 + 1;

//最终,t存的就是三个点中最小的结点编号

if (u != t) {//如果u!=t,说明根结点就不是最小的,需要交换

heap_swap(u, t);//交换

down(t);

}

return;

}

向集合中插入一个数

添加hp和ph数组中的映射关系

scanf("%d", &x); //向堆中插入x

size1++;

m++;

ph[m] = size1;

hp[size1] = m;

h[size1] = x;

up(size1);

输出集合中的最小值

printf("%d\n", h[1])

删除最小值

手写的heap_swap函数代替原来的swap函数

heap_swap(1, size1);

size1--;

down(1);

删除第k个插入的元素

scanf("%d", &k);//输入k

k = ph[k];//找到第k个插入的元素在堆中的下标,然会对其进行删除

heap_swap(k, size1);//用堆中最后一个元素覆盖找到的元素,然会进行调整

size1--;

down(k), up(k);

修改第k个插入的元素

scanf("%d%d", &k, &x);//输入k和修改后的值x

k = ph[k];//找到第k个插入的元素在堆中的下标,然后修改其值,修改后进行调整

h[k] = x;

down(k), up(k);

题目描述

维护一个集合,初始时集合为空,支持如下几种操作:

“I x”,插入一个数x;

“PM”,输出当前集合中的最小值;

“DM”,删除当前集合中的最小值(当最小值不唯一时,删除最早插入的最小值);

“D k”,删除第k个插入的数;

“C k x”,修改第k个插入的数,将其变为x;

现在要进行N次操作,对于所有第2个操作,输出当前集合的最小值。

输入格式

第一行包含整数N。

接下来N行,每行包含一个操作指令,操作指令为”I x”,”PM”,”DM”,”D k”或”C k x”中的一种。

输出格式

对于每个输出指令“PM”,输出一个结果,表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤10^5

−10^9≤x≤10^9

数据保证合法。

输入样例

8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例

-10
6

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<string.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int h[N], ph[N], hp[N], size1;//h[N]就是heap[N],size1存储当前有多少个元素,ph[k]存第k个插入数组的下标

//ph[j]=k【第j次插入数组的数的下标是k】,hp[k]=j【下标为k的数是第j次插入数组中的数】

void heap_swap(int a, int b) {

swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);//交换指向

swap(hp[a], hp[b]);

swap(h[a], h[b]);

return;

}

void down(int u) {

int t = u;//用t表示三个点中的最小值

if (u * 2 <= size1 && h[u * 2] < h[t])//先判断是否有左儿子,然后判断左儿子是否小于其本身,如果成立,交换

t = u * 2;

if (u * 2 + 1 <= size1 && h[u * 2 + 1] < h[t])//再判断是否有右儿子,然后判断右儿子是否小于其本身,如果成立,交换

t = u * 2 + 1;

//最终,t存的就是三个点中最小的结点编号

if (u != t) {//如果u!=t,说明根结点就不是最小的,需要交换

heap_swap(u, t);//交换

down(t);

}

return;

}

void up(int u) {

while (u / 2 && h[u / 2] > h[u]) {//u的父结点为u/2,父结点存在且大于本身,交换

heap_swap(u / 2, u);

u = u / 2;

}

return;

}

int main() {

int n, m = 0;

scanf("%d", &n);

while (n--) {

char op[10];

int k, x;

scanf("%s", op);

if (!strcmp(op, "I")) {

scanf("%d", &x);

size1++;

m++;

ph[m] = size1;

hp[size1] = m;

h[size1] = x;

up(size1);

}

else if (!strcmp(op, "PM"))

printf("%d\n", h[1]);

else if (!strcmp(op, "DM")) {

heap_swap(1, size1);

size1--;

down(1);

}

else if (!strcmp(op, "D")) {

scanf("%d", &k);

k = ph[k];

heap_swap(k, size1);

size1--;

down(k), up(k);

}

else {

scanf("%d%d", &k, &x);

k = ph[k];

h[k] = x;

down(k), up(k);

}

}

return 0;

}

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