二元关系及关系代数中的象集、除运算

二元关系及关系代数中的象集、除运算

数学上,二元关系用于讨论两个数学对象的联系。诸如算术中的「大于」及「等于」,几何学中的"相似",或集合论中的"为...之元素"或"为...之子集"。二元关系有时会简称关系,但一般而言关系不必是二元的。

【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 )_c++实现二元关系逆运算-CSDN博客

定义

集合X与集合Y上的二元关系是R=(X,Y,G(R)),其中G(R),称为R,是笛卡儿积X×Y的子集。若 (x,y) ∈G(R) ,则称xR-关系于y,并记作xRyR(x,y)。否则称xy无关系R。但经常地我们把关系与其图等同起来,即:若RX×Y,则R是一个关系。

例如:有四件物件 {球,糖,车,枪} 及四个人 {甲,乙,丙,丁}。 若甲拥有球,乙拥有糖,及丁拥有车,即无人有枪及丙一无所有— 则二元关系"为...拥有"便是R=({球,糖,车,枪}, {甲,乙,丙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)})。

其中 R 的首项是物件的集合,次项是人的集合,而末项是由有序对(物件,主人)组成的集合。比如有序对(球,甲)∈G(R),所以我们可写作"球R甲",表示球为甲所拥有。

不同的关系可以有相同的图。以下的关系 ({球,糖,车,枪}, {甲,乙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)} 中人人皆是物主,所以与R不同,但两者有相同的图。话虽如此,我们很多时候索性把R定义为G(R), 而 "有序对 (x,y) ∈G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈R"。

二元关系可看作成二元函数,这种二元函数把输入元xXyY视为独立变量并求真伪值(即“有序对(x,y) 是或非二元关系中的一元”此一问题)。

X=Y,则称RX上的关系。

特殊的二元关系

注:下文我们将采用把二元关系R定义为A × A的子集的做法。

设A是一个集合,则:

空集∅称作A上的空关系(因为∅也是A × A的子集)。

EA = A × A称作A上的全域关系

IA = {(x,,x): x∈A} 称作A上的恒等关系 

例1:

A={1,2,3},R1,R2和R3是A上的关系,其中:R1={<1,1>,<2,2>};R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>};R3={<1,3>},则R1不是自反的,R3是反自反的,R2是自反的但不是反自反的。

例2:

A={1,2,3},R1,R2,R3和R4是A上的关系,其中:R1={<1,1>,<2,2>};R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>};R3={<1,2>,<1,3>};R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>},则R1既是对称的也是反对称的。R2是对称的但不是反对称的。R3是反对称的但不是对称的。R4既不是对称的也不是反对称的。

例3:

A={1,2,3},R1,R2和R3是A上的关系,其中:R1={<1,1>,<2,2>};R2={<1,2>,<2,3>};R3={<1,3>},则R1和R3是A上的传递关系,R2不是A上的传递关系。 

【数据库】解释关系代数中的象集、除运算-CSDN博客

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